与えられた6つの極限を計算する問題です。 (1) $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x+2}$ (2) $\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x^3+1}$ (3) $\lim_{x \to -\infty} (1 - \frac{1}{x^2})$ (4) $\lim_{x \to \infty} (x^2 - x^3)$ (5) $\lim_{x \to -\infty} (x^2 + x^3)$ (6) $\lim_{x \to \infty} (x + \frac{1}{x})$

1. 問題の内容

与えられた6つの極限を計算する問題です。

(1) $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x+2}$

(2) $\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x^3+1}$

(3) $\lim_{x \to -\infty} (1 - \frac{1}{x^2})$

(4) $\lim_{x \to \infty} (x^2 - x^3)$

(5) $\lim_{x \to -\infty} (x^2 + x^3)$

(6) $\lim_{x \to \infty} (x + \frac{1}{x})$

2. 解き方の手順

(1) $x$ が無限大に近づくとき、$x+2$ も無限大に近づきます。したがって、$\frac{1}{x+2}$ は0に近づきます。

(2) $x$ が負の無限大に近づくとき、$x^3$ も負の無限大に近づきます。したがって、$x^3+1$ も負の無限大に近づきます。よって、$\frac{1}{x^3+1}$ は0に近づきます。

(3) $x$ が負の無限大に近づくとき、$x^2$ は無限大に近づきます。したがって、$\frac{1}{x^2}$ は0に近づきます。よって、$1 - \frac{1}{x^2}$ は1に近づきます。

(4) $x$ が無限大に近づくとき、$x^2$ と $x^3$ も無限大に近づきます。しかし、$x^3$ の方が $x^2$ より速く増加するので、$x^2 - x^3$ は負の無限大に近づきます。

$x^2 - x^3 = x^3(\frac{1}{x}-1)$であり、$x \to \infty$のとき$(\frac{1}{x} - 1) \to -1$なので、全体としては$-\infty$に発散する。

(5) $x$ が負の無限大に近づくとき、$x^2$ は正の無限大に近づき、$x^3$ は負の無限大に近づきます。$x^3$の方が$x^2$より速く変化するので、$x^2 + x^3$ は負の無限大に近づきます。

$x^2 + x^3 = x^3(\frac{1}{x}+1)$であり、$x \to -\infty$のとき$(\frac{1}{x} + 1) \to 1$なので、全体としては$-\infty$に発散する。

(6) $x$ が無限大に近づくとき、$\frac{1}{x}$ は0に近づきます。したがって、$x + \frac{1}{x}$ は無限大に近づきます。

3. 最終的な答え

(1) 0

(2) 0

(3) 1

(4) $-\infty$

(5) $-\infty$

(6) $\infty$