関数 $f(x) = -x^3 + 12x^2 - 36x + 12$ の $0 \leq x \leq a$ における最小値と最大値を求める問題です。ただし、$a$ の範囲によって場合分けがされています。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -x^3 + 12x^2 - 36x + 12$ の $0 \leq x \leq a$ における最小値と最大値を求める問題です。ただし、$a$ の範囲によって場合分けがされています。

2. 解き方の手順

まず、関数 $f(x)$ の導関数を求めます。

$f'(x) = -3x^2 + 24x - 36$

$f'(x) = -3(x^2 - 8x + 12)$

$f'(x) = -3(x-2)(x-6)$

$f'(x) = 0$ となる $x$ の値は、$x = 2, 6$ です。

$x=2$ で極大値、 $x=6$ で極小値を取ります。

$f(0) = 12$

$f(2) = -8 + 48 - 72 + 12 = -20$

$f(6) = -216 + 432 - 216 + 12 = 12$

ここで、$0 \leq x \leq a$ という範囲を考えます。

(i) $0 < a < 2$ のとき：

$f(x)$ は $x=2$ で極大値をとるので、この範囲では単調減少です。したがって、最小値は $f(a) = -a^3 + 12a^2 - 36a + 12$ となり、最大値は $f(0) = 12$ です。

(ii) $2 < a$ のとき：

$f(0)=12$

$f(2)=-20$

$f(a)=-a^3+12a^2-36a+12$

最小値は $x=2$の時となる。

したがって、最小値は $f(2)=-20$

最大値は$0<a<2$の時の最大値が$f(0)$であったことから$2<a$の時の最大値も$f(0)$となる。

したがって、最大値は $f(0)=12$

(iii) $1 \leq a \leq 2$ のとき：

この時、$f(2)$が最小値となるので最小値は$-20$

(iv) $0<a<1$の時:

最小値は$f(a)=-a^3+12a^2-36a+12$

まとめると、

- $0<a<2$で最小値は$f(a)=-a^3+12a^2-36a+12$

- $2<a$ で最小値は$-20$

- $1 \leq a \leq 2$で最小値は$f(2)=-20$

(v) 関数 $f(x)$ の最大値について：

$a$ がどのような値であれ、$f(0)=12$ または $f(6)=12$となり、これは極大値と一致します。極小値は $f(2)=-20$であるため、$0\leq x \leq a$ での最大値は $x=0$で$f(0)=12$になります.

3. 最終的な答え

- 0 < a < 2のとき最小値：-a³+12a²-36a+12, a > 2のとき最小値：-20

- 1 ≦ a ≦ 2のとき最小値：-20

- 最大値：12