(1) 曲線 $y = x^3 + x$ 上の点 $(1, 2)$ における接線の方程式を求める。 (2) 関数 $f(x) = -x^3 + 2x^2 + 4x + 3$ の極値を求める。

1. 問題の内容

(1) 曲線 $y = x^3 + x$ 上の点 $(1, 2)$ における接線の方程式を求める。

(2) 関数 $f(x) = -x^3 + 2x^2 + 4x + 3$ の極値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$y = x^3 + x$ を微分して、$y'$ を求める。

$y' = 3x^2 + 1$

点 $(1, 2)$ における接線の傾きは、$x = 1$ のときの $y'$ の値である。

$y'(1) = 3(1)^2 + 1 = 3 + 1 = 4$

接線の傾きは $4$ で、点 $(1, 2)$ を通るので、接線の方程式は以下のようになる。

$y - 2 = 4(x - 1)$

$y - 2 = 4x - 4$

$y = 4x - 2$

(2)

$f(x) = -x^3 + 2x^2 + 4x + 3$ を微分して、$f'(x)$ を求める。

$f'(x) = -3x^2 + 4x + 4$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$-3x^2 + 4x + 4 = 0$

$3x^2 - 4x - 4 = 0$

$(3x + 2)(x - 2) = 0$

$x = -\frac{2}{3}, 2$

次に、$f''(x)$ を求める。

$f''(x) = -6x + 4$

$x = -\frac{2}{3}$ のとき

$f''(-\frac{2}{3}) = -6(-\frac{2}{3}) + 4 = 4 + 4 = 8 > 0$

したがって、$x = -\frac{2}{3}$ で極小値をとる。

$f(-\frac{2}{3}) = -(-\frac{2}{3})^3 + 2(-\frac{2}{3})^2 + 4(-\frac{2}{3}) + 3 = \frac{8}{27} + \frac{8}{9} - \frac{8}{3} + 3 = \frac{8 + 24 - 72 + 81}{27} = \frac{41}{27}$

$x = 2$ のとき

$f''(2) = -6(2) + 4 = -12 + 4 = -8 < 0$

したがって、$x = 2$ で極大値をとる。

$f(2) = -(2)^3 + 2(2)^2 + 4(2) + 3 = -8 + 8 + 8 + 3 = 11$

極小値：$\frac{41}{27}$

極大値：$11$

3. 最終的な答え

(1) $y = 4x - 2$

(2) 極小値：$\frac{41}{27}$ 、極大値：$11$