関数 $f(x) = -x^3 + 12x^2 - 36x + 12$ が与えられており、区間 $0 \le x \le a$ における最小値と最大値を、$a$ の範囲に応じて求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -x^3 + 12x^2 - 36x + 12$ が与えられており、区間 $0 \le x \le a$ における最小値と最大値を、$a$ の範囲に応じて求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ の導関数を求めます。

$f'(x) = -3x^2 + 24x - 36$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$-3x^2 + 24x - 36 = 0$

$x^2 - 8x + 12 = 0$

$(x-2)(x-6) = 0$

$x = 2, 6$

$f(x)$ の増減表を作ります。

$x$ | 0 | ... | 2 | ... | 6 | ... | $a$

---|---|---|---|---|---|---|---

$f'(x)$ | | - | 0 | + | 0 | - |

$f(x)$ | 12 | 減少 | 極小 | 増加 | 極大 | 減少 |

$f(0) = 12$

$f(2) = -8 + 48 - 72 + 12 = -20$

$f(6) = -216 + 432 - 216 + 12 = 12$

(1) $0 < a < 2$ のとき、最小値は $f(a) = -a^3 + 12a^2 - 36a + 12$ になります。

(2) $2 \le a \le 6$ のとき、最小値は $f(2) = -20$ になります。

(3) $a > 6$ のとき、最小値は $f(a) = -a^3 + 12a^2 - 36a + 12$ になります。

(1) $0 < a < 6$ のとき、最大値は $f(0) = 12$ になります。

(2) $a > 6$ のとき、最大値は $f(6) = 12$ になります。

画像から穴埋め問題を解くことにします。

1. $0 < a < 2$ のとき、最小値は $-a^3 + 12a^2 - 36a + 12$ なので、空欄1は2になります。また、$a > 2$のときは関係がないので、無視します。

2. $2 \le a \le 6$ のとき、最小値は $f(2) = -20$ となるので、空欄2は6になります。

3. 最大値は、常に$f(0)=12$になるので、空欄6は1、空欄7は2になります。

したがって、空欄3,4,5には、この問題では関係ありません。

3. 最終的な答え

* 空欄1: 2

* 空欄3,4,5 : 関係なし

* 空欄6: 1

* 空欄7: 2