関数 $y=x-x^3$ のグラフ上の点 $P(t, t-t^3)$ における接線 $l$ を考えます。ただし $t>0$ とします。 (1) 接線 $l$ と $y=x-x^3$ のグラフの交点のうち $P$ と異なる点を $Q$ とするとき、$Q$ の $x$ 座標を求めます。 (2) 原点を $O$ とするとき、三角形 $OPQ$ の面積が $12$ となる $t$ の値を求めます。

1. 問題の内容

関数 $y=x-x^3$ のグラフ上の点 $P(t, t-t^3)$ における接線 $l$ を考えます。ただし $t>0$ とします。

(1) 接線 $l$ と $y=x-x^3$ のグラフの交点のうち $P$ と異なる点を $Q$ とするとき、$Q$ の $x$ 座標を求めます。

(2) 原点を $O$ とするとき、三角形 $OPQ$ の面積が $12$ となる $t$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$y=x-x^3$ を微分して、$y'=1-3x^2$ を得ます。

点 $P(t, t-t^3)$ における接線 $l$ の傾きは $1-3t^2$ です。

したがって、接線 $l$ の方程式は

$y-(t-t^3) = (1-3t^2)(x-t)$

$y = (1-3t^2)x -t + 3t^3 + t - t^3$

$y = (1-3t^2)x + 2t^3$

となります。

次に、接線 $l$ と曲線 $y=x-x^3$ の交点の $x$ 座標を求めます。

$x-x^3 = (1-3t^2)x + 2t^3$

$x^3 - 3t^2x + 2t^3 = 0$

$(x-t)(x^2 + tx - 2t^2) = 0$

$(x-t)(x-t)(x+2t) = 0$

$(x-t)^2(x+2t) = 0$

$x=t, -2t$

点 $Q$ は $P$ と異なる点なので、$Q$ の $x$ 座標は $-2t$ です。

(2)

点 $Q$ の $y$ 座標は $y = (-2t) - (-2t)^3 = -2t + 8t^3$ です。

したがって、$Q(-2t, -2t + 8t^3)$ です。

三角形 $OPQ$ の面積は、

$\frac{1}{2} |t(-2t+8t^3) - (t-t^3)(-2t)| = \frac{1}{2} |-2t^2+8t^4 + 2t^2 - 2t^4| = \frac{1}{2} |6t^4| = 3t^4$

三角形 $OPQ$ の面積が $12$ であるから、$3t^4 = 12$ より $t^4 = 4$ となります。

$t>0$ より $t = \sqrt{2}$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $Q$ の $x$ 座標： $-2t$

(2) $t = \sqrt{2}$