関数 $f(x) = -x^3 + 12x^2 - 36x + 12$ (ただし、$0 \le x \le a$) の最小値と最大値を求めよ。場合分けは、$0 < a < 1$ または $a > 2$ のとき、および $1 \le a \le 2$ のとき、の2通りである。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -x^3 + 12x^2 - 36x + 12$ (ただし、$0 \le x \le a$) の最小値と最大値を求めよ。場合分けは、$0 < a < 1$ または $a > 2$ のとき、および $1 \le a \le 2$ のとき、の2通りである。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ の導関数を求めます。

$f'(x) = -3x^2 + 24x - 36$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$-3x^2 + 24x - 36 = 0$

$x^2 - 8x + 12 = 0$

$(x - 2)(x - 6) = 0$

したがって、$x = 2, 6$ が極値を与える $x$ の値です。

ここで、$0 \le x \le a$ の範囲で考えます。$x=6$は常に範囲外なので、$x=2$のみ考えます。

$f(0) = 12$

$f(2) = -8 + 48 - 72 + 12 = -20$

場合分けをします。

(i) $0 < a < 2$ のとき

$0 \le x \le a$ の範囲で、$f(x)$ は $x=2$ で極小値を持つかどうかを考えます。

$0 < a < 1$のとき、$x=2$は範囲外なので、区間$[0, a]$で$f(x)$は単調減少であるとは言えません。

$f(x)$ は区間 $0 \le x \le a$ で減少します。したがって、最小値は $f(a) = -a^3 + 12a^2 - 36a + 12$ となります。

$a > 2$のとき、$x=2$は範囲内なので、区間$[0, a]$における$f(x)$の最小値は$f(2) = -20$となります。

(ii) $1 \le a \le 2$ のとき

$f(x)$ は $x=2$ で極小値 $-20$ をとります。また、$f(0) = 12$ です。

したがって、最小値は $f(2) = -20$ となります。

次に、最大値を求めます。

$0 \le x \le a$ の範囲で、$f(x)$ の最大値は $f(0) = 12$ です。ただし、$f(a) > f(0)$ になることもあり得ます。

$f(a) = -a^3 + 12a^2 - 36a + 12$

$f(a) - f(0) = -a^3 + 12a^2 - 36a = -a(a^2 - 12a + 36) = -a(a-6)^2$

したがって、$f(a) \le f(0)$ なので、最大値は常に $f(0) = 12$ となります。

3. 最終的な答え

最小値：

- $0 < a < 2$ のとき、最小値は $-a^3 + 12a^2 - 36a + 12$

- $a > 2$のとき、最小値は $-20$

- $1 \le a \le 2$ のとき、最小値は $-20$

最大値：12

したがって、解答は以下の通りです。

1 = 2

2 = 2

3 = -20

4 = -20

5 = -20

6 = 12

7 = 12