問題は、以下の2つの関数のグラフの概形を描くことです。 (1) $y = \frac{1}{x^2+1}$ (2) $y = \frac{x^2}{x+1}$

1. 問題の内容

問題は、以下の2つの関数のグラフの概形を描くことです。

(1) $y = \frac{1}{x^2+1}$

(2) $y = \frac{x^2}{x+1}$

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{1}{x^2+1}$ について:

* 定義域：すべての実数 $x$ で定義されます。

* 対称性：$x$を$-x$で置き換えても関数は変わらないため、y軸に関して対称です。偶関数です。

* $x=0$のとき、$y=1$となります。

* $x$が大きくなるにつれて、$y$は0に近づきます。$y > 0$であることに注意してください。

* 増減：$y' = \frac{-2x}{(x^2+1)^2}$ となります。

* $x<0$のとき、$y' > 0$なので、$y$は増加関数です。

* $x>0$のとき、$y' < 0$なので、$y$は減少関数です。

* したがって、$x=0$で最大値1をとります。

(2) $y = \frac{x^2}{x+1}$ について:

* 定義域：$x \neq -1$ です。

* 漸近線：

* 垂直漸近線：$x = -1$

* 斜め漸近線：分子を分母で割ると、$y = x - 1 + \frac{1}{x+1}$ となります。したがって、$x \to \pm\infty$ で $y \to x-1$ となり、$y = x - 1$ が斜め漸近線です。

* $x=0$のとき、$y=0$となります。

* 増減：$y' = \frac{2x(x+1) - x^2}{(x+1)^2} = \frac{x^2+2x}{(x+1)^2} = \frac{x(x+2)}{(x+1)^2}$ となります。

* $x<-2$のとき、$y' > 0$なので、$y$は増加関数です。

* $-2<x<-1$のとき、$y' < 0$なので、$y$は減少関数です。

* $-1<x<0$のとき、$y' < 0$なので、$y$は減少関数です。

* $x>0$のとき、$y' > 0$なので、$y$は増加関数です。

* したがって、$x=-2$で極大値-4、$x=0$で極小値0をとります。

3. 最終的な答え

(1) $y = \frac{1}{x^2+1}$ のグラフは、y軸に関して対称で、$x=0$で最大値1をとり、$x$が大きくなるにつれて0に近づく滑らかな曲線です。

(2) $y = \frac{x^2}{x+1}$ のグラフは、$x=-1$に垂直漸近線、$y=x-1$に斜め漸近線があり、$x=-2$で極大値-4、$x=0$で極小値0をとるグラフです。