$\frac{d}{dx} \tan^{-1} u = \frac{1}{1+u^2} \frac{du}{dx}$

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1. 問題の内容

問題5は、以下の3つの関数を微分する問題です。

(1) $f(x) = \tan^{-1}\frac{x-1}{x+1}$

(2) $f(x) = \sin^{-1}(e^{-x^2})$

(3) $f(x) = \tan^{-1}(e^x + e^{-x})$

問題6は、以下の3つの極限を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{\sin 2x}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin^{-1} x}$

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2. 解き方の手順

**問題5(1):**

1. 合成関数の微分法を用います。

$\frac{d}{dx} \tan^{-1} u = \frac{1}{1+u^2} \frac{du}{dx}$

2. $u = \frac{x-1}{x+1}$ とすると、$\frac{du}{dx} = \frac{(x+1) - (x-1)}{(x+1)^2} = \frac{2}{(x+1)^2}$

3. よって、

$\frac{d}{dx} \tan^{-1} \frac{x-1}{x+1} = \frac{1}{1+(\frac{x-1}{x+1})^2} \cdot \frac{2}{(x+1)^2} = \frac{1}{\frac{(x+1)^2 + (x-1)^2}{(x+1)^2}} \cdot \frac{2}{(x+1)^2} = \frac{2}{(x+1)^2 + (x-1)^2} = \frac{2}{x^2 + 2x + 1 + x^2 - 2x + 1} = \frac{2}{2x^2 + 2} = \frac{1}{x^2+1}$

**問題5(2):**

1. 合成関数の微分法を用います。

$\frac{d}{dx} \sin^{-1} u = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \frac{du}{dx}$

2. $u = e^{-x^2}$ とすると、$\frac{du}{dx} = e^{-x^2} (-2x) = -2xe^{-x^2}$

3. よって、

$\frac{d}{dx} \sin^{-1}(e^{-x^2}) = \frac{1}{\sqrt{1-(e^{-x^2})^2}} \cdot (-2xe^{-x^2}) = \frac{-2xe^{-x^2}}{\sqrt{1-e^{-2x^2}}}$

**問題5(3):**

1. 合成関数の微分法を用います。

$\frac{d}{dx} \tan^{-1} u = \frac{1}{1+u^2} \frac{du}{dx}$

2. $u = e^x + e^{-x}$ とすると、$\frac{du}{dx} = e^x - e^{-x}$

3. よって、

$\frac{d}{dx} \tan^{-1}(e^x + e^{-x}) = \frac{1}{1+(e^x + e^{-x})^2} \cdot (e^x - e^{-x}) = \frac{e^x - e^{-x}}{1+(e^x + e^{-x})^2} = \frac{e^x - e^{-x}}{1+e^{2x} + 2 + e^{-2x}} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^{2x} + 3 + e^{-2x}}$

**問題6(1):**

1. $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ を用います。

2. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{\sin 2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{2 \sin x \cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{2 \cos x} = \frac{1}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2}$

**問題6(2):**

1. $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$ は基本的な極限として知られています。

2. 別の解法：ロピタルの定理を用いると、

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sec^2 x}{1} = \frac{1}{1} = 1$

**問題6(3):**

1. $\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin^{-1} x}$ の逆数を考えます。

2. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin^{-1} x}{x}$ を求めます。

$y = \sin^{-1} x$ とすると、$x = \sin y$ となり、$x \to 0$ のとき $y \to 0$ となります。

3. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin^{-1} x}{x} = \lim_{y \to 0} \frac{y}{\sin y} = 1$ (基本的な極限)

4. したがって、$\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin^{-1} x} = \frac{1}{\lim_{x \to 0} \frac{\sin^{-1} x}{x}} = \frac{1}{1} = 1$

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3. 最終的な答え

問題5:

(1) $\frac{1}{x^2+1}$

(2) $\frac{-2xe^{-x^2}}{\sqrt{1-e^{-2x^2}}}$

(3) $\frac{e^x - e^{-x}}{e^{2x} + 3 + e^{-2x}}$

問題6:

(1) $\frac{1}{2}$

(2) $1$

(3) $1$