与えられた6つの極限値を求める問題です。 (1) $\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2}$ (2) $\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3}$ (3) $\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{\tan x} - \frac{1}{x} \right)$ (4) $\lim_{x \to \infty} x \left( \frac{\pi}{2} - \arctan x \right)$ (5) $\lim_{x \to 0} \frac{\log (1-x)}{x}$ (6) $\lim_{x \to 0} \frac{\log (\frac{1}{1-x}) - x}{x^2}$

はい、承知いたしました。与えられた極限の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた6つの極限値を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3}$

(3) $\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{\tan x} - \frac{1}{x} \right)$

(4) $\lim_{x \to \infty} x \left( \frac{\pi}{2} - \arctan x \right)$

(5) $\lim_{x \to 0} \frac{\log (1-x)}{x}$

(6) $\lim_{x \to 0} \frac{\log (\frac{1}{1-x}) - x}{x^2}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2}$

ロピタルの定理を2回適用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{2} = \frac{1}{2}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3}$

ロピタルの定理を3回適用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{3x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{6x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{6} = \frac{1}{6}$

(3) $\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{\tan x} - \frac{1}{x} \right) = \lim_{x \to 0} \frac{x - \tan x}{x \tan x}$

$\tan x = x + \frac{x^3}{3} + O(x^5)$より、

$\lim_{x \to 0} \frac{x - (x + \frac{x^3}{3} + O(x^5))}{x(x + \frac{x^3}{3} + O(x^5))} = \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x^3}{3}}{x^2} = \lim_{x \to 0} -\frac{x}{3} = 0$

または、ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{x - \tan x}{x \tan x} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \frac{1}{\cos^2 x}}{\tan x + \frac{x}{\cos^2 x}} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos^2 x - 1}{\tan x \cos^2 x + x} = \lim_{x \to 0} \frac{-\sin^2 x}{\sin x \cos x + x} = \lim_{x \to 0} \frac{-\sin x}{\cos x + \frac{x}{\sin x}} = \lim_{x \to 0} \frac{-\sin x \sin x}{\sin x \cos x + x} = \lim_{x \to 0} \frac{-\sin^2 x}{\sin x \cos x + x}$

ロピタルの定理を再度適用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{-2\sin x \cos x}{\cos^2 x - \sin^2 x + 1} = \frac{0}{1 - 0 + 1} = 0$

(4) $\lim_{x \to \infty} x \left( \frac{\pi}{2} - \arctan x \right)$

$t = \frac{1}{x}$とおくと、$x \to \infty$のとき、$t \to 0$となり、$\arctan x = \arctan \frac{1}{t}$です。

$\lim_{t \to 0} \frac{\frac{\pi}{2} - \arctan \frac{1}{t}}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{\arctan t}{t} = 1$

$(\frac{\pi}{2} - \arctan x = \arctan \frac{1}{x})$を利用しました。

(5) $\lim_{x \to 0} \frac{\log (1-x)}{x}$

ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{-\frac{1}{1-x}}{1} = \lim_{x \to 0} -\frac{1}{1-x} = -1$

または、$\log(1-x) = -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - ...$を利用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{-x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - ...}{x} = \lim_{x \to 0} -1 - \frac{x}{2} - \frac{x^2}{3} - ... = -1$

(6) $\lim_{x \to 0} \frac{\log (\frac{1}{1-x}) - x}{x^2}$

$\log (\frac{1}{1-x}) = -\log (1-x) = x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + ...$より

$\lim_{x \to 0} \frac{x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + ... - x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + ...}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{2} + \frac{x}{3} + ... = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{2}$

(2) $\frac{1}{6}$

(3) $0$

(4) $1$

(5) $-1$

(6) $\frac{1}{2}$