与えられた積分を計算します。 $\int \frac{1}{\sin^2 x \cos x} dx$

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。

$\int \frac{1}{\sin^2 x \cos x} dx$

2. 解き方の手順

まず、$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$を利用して、被積分関数を変形します。

$$\frac{1}{\sin^2 x \cos x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin^2 x \cos x} = \frac{\sin^2 x}{\sin^2 x \cos x} + \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x \cos x} = \frac{1}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin^2 x}$$

したがって、

$$\int \frac{1}{\sin^2 x \cos x} dx = \int \left( \frac{1}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin^2 x} \right) dx = \int \sec x dx + \int \frac{\cos x}{\sin^2 x} dx$$

ここで、$\int \sec x dx = \ln|\sec x + \tan x| + C_1$です。

また、$\int \frac{\cos x}{\sin^2 x} dx$において、$u = \sin x$とおくと、$du = \cos x dx$となるので、

$$\int \frac{\cos x}{\sin^2 x} dx = \int \frac{1}{u^2} du = \int u^{-2} du = -u^{-1} + C_2 = -\frac{1}{\sin x} + C_2 = -\csc x + C_2$$

よって、

$$\int \frac{1}{\sin^2 x \cos x} dx = \ln|\sec x + \tan x| - \csc x + C$$

3. 最終的な答え

$\ln|\sec x + \tan x| - \csc x + C$