関数 $f(x) = \frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 - 2x + 1$ の $-3 \le x \le a$ における最大値を求める問題です。ただし、$a > -3$ とします。$a$ の範囲によって最大値が変わるようです。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 - 2x + 1$ の $-3 \le x \le a$ における最大値を求める問題です。ただし、$a > -3$ とします。$a$ の範囲によって最大値が変わるようです。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ の導関数を求め、増減表を作成します。

$f'(x) = 2x^2 + 3x - 2 = (2x-1)(x+2)$

$f'(x) = 0$ となるのは $x = -2$ または $x = \frac{1}{2}$ のとき。

よって、$f(x)$ は $x=-2$ で極大値、$x=\frac{1}{2}$ で極小値をとる。

$f(-3) = \frac{2}{3}(-27) + \frac{3}{2}(9) - 2(-3) + 1 = -18 + \frac{27}{2} + 6 + 1 = -11 + \frac{27}{2} = \frac{-22+27}{2} = \frac{5}{2}$

$f(-2) = \frac{2}{3}(-8) + \frac{3}{2}(4) - 2(-2) + 1 = -\frac{16}{3} + 6 + 4 + 1 = 11 - \frac{16}{3} = \frac{33-16}{3} = \frac{17}{3}$

$f(\frac{1}{2}) = \frac{2}{3}(\frac{1}{8}) + \frac{3}{2}(\frac{1}{4}) - 2(\frac{1}{2}) + 1 = \frac{1}{12} + \frac{3}{8} - 1 + 1 = \frac{2+9}{24} = \frac{11}{24}$

$f(a) = \frac{2}{3}a^3 + \frac{3}{2}a^2 - 2a + 1$

$-3 < a \le -2$ のとき、最大値は $f(-2) = \frac{17}{3}$ です。

$a > -2$ のとき、$f(a)$ と $f(-3)$ を比較する必要があります。

$f(-3) = \frac{5}{2} = \frac{60}{24}$

$f(\frac{1}{2}) = \frac{11}{24}$

$f(x)$ の $-3 \le x \le a$ における最大値は、$a$ の値によって変わります。

$a \le -2$ のとき、最大値は $f(-2) = \frac{17}{3}$ です。

$a$ が $-2$ より大きい時、$x=a$ で最大値を取るか $-3$ で最大値を取るか判断する必要があります。

$-3<a \le \frac{1}{2}$ のとき、$x=-2$ で最大値$\frac{17}{3}$を取ります。

$a>\frac{1}{2}$ のとき、$x=a$ で最大値を取ります。

ここで、$f(x)$ が極大となる $x=-2$ の値と、$f(x)$ が極小となる $x=\frac{1}{2}$ の値を考慮します。

$-3 < a \le -2$ のとき、最大値は $\frac{17}{3}$.

$-2 < a$ のとき、 $a$ の値によって最大値は変わります。

$f(x)$ は $x=-2$ で極大、 $x=\frac{1}{2}$ で極小を取るので、$f(-2) > f(\frac{1}{2})$ となります。

また、$f(-3) = \frac{5}{2}$ です。

$f(a) = \frac{17}{3}$ となる $a$ を求めます。

$\frac{2}{3}a^3 + \frac{3}{2}a^2 - 2a + 1 = \frac{17}{3}$

$4a^3 + 9a^2 - 12a + 6 = 34$

$4a^3 + 9a^2 - 12a - 28 = 0$

$(a-2)(4a^2+17a+14) = 0$

よって、$a=2$

$\frac{2}{3}a^3 + \frac{3}{2}a^2 - 2a + 1 = \frac{5}{2}$

$4a^3 + 9a^2 - 12a + 6 = 15$

$4a^3 + 9a^2 - 12a - 9 = 0$

$(a+3)(4a^2-3a-3) = 0$

$a = \frac{3 \pm \sqrt{9+48}}{8} = \frac{3 \pm \sqrt{57}}{8}$

$a = \frac{3 + \sqrt{57}}{8} \approx 1.3187...$

$-3 < a \le \frac{3+\sqrt{57}}{8}$ のとき、最大値は $\frac{5}{2}$

$\frac{3+\sqrt{57}}{8} < a \le 2$ のとき、最大値は $\frac{2}{3}a^3+\frac{3}{2}a^2-2a+1$

$a \le \frac{3 + \sqrt{57}}{8}$ なら $f(-2)$ が最大値

$a > \frac{3 + \sqrt{57}}{8}$ なら $f(a)$ が最大値

$\frac{8}{9} = 0.888... < 1.3187...$

よって、$-3 < a \le \frac{8}{9}$ のとき、最大値は $\frac{17}{3}$.

$\frac{8}{9} < a < 2$ のとき、最大値は $\frac{2}{3}a^3+\frac{3}{2}a^2-2a+1$

3. 最終的な答え

$-3 < a \le \frac{8}{9}$ のとき、最大値 $\frac{17}{3}$

$\frac{8}{9} < a$のとき、最大値$\frac{2}{3}a^3+\frac{3}{2}a^2-2a+1$

問題文と照らし合わせると、

$-3 < a \le \frac{8}{9}$ のとき、最大値 $\frac{17}{3}$ なので、6=17, 7=3, 8=8, 9=

9.

$\frac{8}{9} < a$のとき、最大値は $\frac{2}{3} a^3 + \frac{3}{2} a^2 - 2a + 1$ ですが、

条件が異なります.

したがって求める解は $-3<a \le \frac{8}{9}$のとき、最大値$\frac{17}{3}$

したがって、6,7には何も入らない。

8,9には8,9が入る

最終解答：

-3 < a ≤ 8/9のとき最大値 $\frac{17}{3}$.