曲線 $C: y=x^3-x$ 上の点 $T(t, t^3-t)$ における接線を考える。点 $A(a, b)$ を通る接線が2本存在するとき、 $a, b$ の満たす関係式を求める。ただし、$a>0$, $b \neq a^3-a$とする。さらに、そのとき2本の接線が直交するような$a, b$の値を求める。

1. 問題の内容

曲線 $C: y=x^3-x$ 上の点 $T(t, t^3-t)$ における接線を考える。点 $A(a, b)$ を通る接線が2本存在するとき、 $a, b$ の満たす関係式を求める。ただし、$a>0$, $b \neq a^3-a$とする。さらに、そのとき2本の接線が直交するような$a, b$の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 点Tにおける接線の方程式を求める。$y=x^3-x$を微分すると、$y'=3x^2-1$となる。よって、点Tにおける接線の傾きは$3t^2-1$である。

したがって、点Tにおける接線の方程式は

$y - (t^3-t) = (3t^2-1)(x-t)$

$y = (3t^2-1)x - 3t^3 + t + t^3 - t$

$y = (3t^2-1)x - 2t^3$

(2) 点A(a, b)を通る接線が2本あるときのa, bの関係式を求める。

点A(a, b)が接線 $y = (3t^2-1)x - 2t^3$ 上にあるので、

$b = (3t^2-1)a - 2t^3$

$2t^3 - 3at^2 + a + b = 0$

この$t$に関する3次方程式が異なる2つの実数解を持つ条件を考える。

$f(t) = 2t^3 - 3at^2 + a + b$とおく。

$f'(t) = 6t^2 - 6at = 6t(t-a)$

$f'(t)=0$とすると、$t=0, a$

$f(0) = a + b$

$f(a) = 2a^3 - 3a^3 + a + b = -a^3 + a + b$

$f(t)=0$が異なる2つの実数解を持つためには、$f(0)=0$または$f(a)=0$が必要である。

ただし、$a>0$より、$t=0$と$t=a$の値は異なる。

i) $f(0) = 0$のとき、$a+b = 0$なので、$b=-a$。

このとき、$f(a) = -a^3 + a + b = -a^3 + a - a = -a^3 \neq 0$

ii) $f(a) = 0$のとき、$-a^3 + a + b = 0$なので、$b = a^3 - a$。

これは、$b \neq a^3 - a$より不適。

したがって、$f(t)=0$が異なる2つの実数解を持つのは、$f(0)f(a) = 0$かつ$f(0) \neq f(a)$の場合である。

ここで、$b=-a$のとき、$2t^3-3at^2 = 0$なので、$t^2(2t-3a)=0$。

$t=0, \frac{3a}{2}$となる。したがって、2本の接線を持つ。

以上より、$b=-a$

(3) (2)のとき、2本の接線が直交するようなa,bの値を求める。

接線の傾きはそれぞれ$3t^2-1$である。

$t=0$のときの傾きは$-1$。

$t = \frac{3a}{2}$のときの傾きは$3(\frac{3a}{2})^2 - 1 = \frac{27a^2}{4} - 1$

2本の接線が直交するので、

$(-1)(\frac{27a^2}{4} - 1) = -1$

$\frac{27a^2}{4} - 1 = 1$

$\frac{27a^2}{4} = 2$

$a^2 = \frac{8}{27}$

$a = \sqrt{\frac{8}{27}} = \frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{6}}{9}$

$b=-a = -\frac{2\sqrt{6}}{9}$

3. 最終的な答え

$a = \frac{2\sqrt{6}}{9}$, $b = -\frac{2\sqrt{6}}{9}$