与えられた曲線に接し、かつ与えられた点を通る接線を全て求める問題です。 (8) $y = x^3 - 4x$ で点 $(1, -3)$ を通る接線を求める。 (9) $y = 2x^2 - x^3$ で点 $(2, 6)$ を通る接線を求める。

1. 問題の内容

与えられた曲線に接し、かつ与えられた点を通る接線を全て求める問題です。

(8) $y = x^3 - 4x$ で点 $(1, -3)$ を通る接線を求める。

(9) $y = 2x^2 - x^3$ で点 $(2, 6)$ を通る接線を求める。

2. 解き方の手順

(8) の場合

まず、曲線 $y = x^3 - 4x$ 上の点 $(t, t^3 - 4t)$ における接線を求める。

$y' = 3x^2 - 4$ より、接線の傾きは $3t^2 - 4$ となる。

したがって、接線の方程式は

$y - (t^3 - 4t) = (3t^2 - 4)(x - t)$

$y = (3t^2 - 4)x - 3t^3 + 4t + t^3 - 4t$

$y = (3t^2 - 4)x - 2t^3$

この接線が $(1, -3)$ を通るので、

$-3 = (3t^2 - 4)(1) - 2t^3$

$-3 = 3t^2 - 4 - 2t^3$

$2t^3 - 3t^2 + 1 = 0$

$(t - 1)^2(2t + 1) = 0$

$t = 1, -\frac{1}{2}$

$t = 1$ のとき、接線は $y = (3(1)^2 - 4)x - 2(1)^3 = -x - 2$

$t = -\frac{1}{2}$ のとき、接線は $y = (3(-\frac{1}{2})^2 - 4)x - 2(-\frac{1}{2})^3 = (3\cdot \frac{1}{4} - 4)x - 2(-\frac{1}{8}) = (\frac{3}{4} - \frac{16}{4})x + \frac{1}{4} = -\frac{13}{4}x + \frac{1}{4}$

(9) の場合

まず、曲線 $y = 2x^2 - x^3$ 上の点 $(t, 2t^2 - t^3)$ における接線を求める。

$y' = 4x - 3x^2$ より、接線の傾きは $4t - 3t^2$ となる。

したがって、接線の方程式は

$y - (2t^2 - t^3) = (4t - 3t^2)(x - t)$

$y = (4t - 3t^2)x - 4t^2 + 3t^3 + 2t^2 - t^3$

$y = (4t - 3t^2)x - 2t^2 + 2t^3$

この接線が $(2, 6)$ を通るので、

$6 = (4t - 3t^2)(2) - 2t^2 + 2t^3$

$6 = 8t - 6t^2 - 2t^2 + 2t^3$

$2t^3 - 8t^2 + 8t - 6 = 0$

$t^3 - 4t^2 + 4t - 3 = 0$

$(t - 3)(t^2 - t + 1) = 0$

$t = 3$ ( $t^2 - t + 1 = 0$ は実数解を持たない)

$t = 3$ のとき、接線は $y = (4(3) - 3(3)^2)x - 2(3)^2 + 2(3)^3 = (12 - 27)x - 18 + 54 = -15x + 36$

3. 最終的な答え

(8) $y = -x - 2$, $y = -\frac{13}{4}x + \frac{1}{4}$

(9) $y = -15x + 36$