与えられた積分 $\int_{0}^{\pi/6} \sin^2(t)\cos(t) \, dt$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int_{0}^{\pi/6} \sin^2(t)\cos(t) \, dt$ を計算します。

2. 解き方の手順

この積分を計算するために、置換積分法を用います。

$u = \sin(t)$ と置くと、$du = \cos(t) \, dt$ となります。

積分の範囲も変更する必要があります。

$t=0$ のとき、$u = \sin(0) = 0$

$t=\pi/6$ のとき、$u = \sin(\pi/6) = 1/2$

したがって、積分は次のように書き換えられます。

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\int_{0}^{\pi/6} \sin^2(t)\cos(t) \, dt = \int_{0}^{1/2} u^2 \, du

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次に、$u^2$ の積分を計算します。

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\int u^2 \, du = \frac{u^3}{3} + C

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ここで、$C$ は積分定数です。定積分を計算するために、積分範囲を適用します。

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\int_{0}^{1/2} u^2 \, du = \left[ \frac{u^3}{3} \right]_{0}^{1/2} = \frac{(1/2)^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1/8}{3} - 0 = \frac{1}{24}

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3. 最終的な答え

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\int_{0}^{\pi/6} \sin^2(t)\cos(t) \, dt = \frac{1}{24}

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