マクローリンの定理を用いて、以下の空欄を埋める問題です。 (1) $\cos x = \sum_{k=0}^{n} (a) + R_{2n+2}$ であり、剰余項 $R_{2n+2} = (b)$ を求めます。ここで $0 < \theta < 1$ です。 (2) $f''(x)$ が連続で、$f''(0) \neq 0$ のとき、$f(x) = f(0) + xf'(cx)$ ($0 < c < 1$) について、$x \to 0$ のとき、$c \to (c)$ を求めます。 (3) $f'''(x)$ が連続で、$f''(0) = 0$, $f'''(0) \neq 0$ のとき、$f(x) = f(0) + xf'(cx)$ ($0 < c < 1$) について、$x \to 0$ のとき、$c \to (d)$ を求めます。

1. 問題の内容

マクローリンの定理を用いて、以下の空欄を埋める問題です。

(1) $\cos x = \sum_{k=0}^{n} (a) + R_{2n+2}$ であり、剰余項 $R_{2n+2} = (b)$ を求めます。ここで $0 < \theta < 1$ です。

(2) $f''(x)$ が連続で、$f''(0) \neq 0$ のとき、$f(x) = f(0) + xf'(cx)$ ($0 < c < 1$) について、$x \to 0$ のとき、$c \to (c)$ を求めます。

(3) $f'''(x)$ が連続で、$f''(0) = 0$, $f'''(0) \neq 0$ のとき、$f(x) = f(0) + xf'(cx)$ ($0 < c < 1$) について、$x \to 0$ のとき、$c \to (d)$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $\cos x$ のマクローリン展開は、以下のようになります。

$\cos x = \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{(2k)!} x^{2k} + R_{2n+2}$

よって、(a) に入るべきは $\frac{(-1)^k}{(2k)!} x^{2k}$ です。

剰余項 $R_{2n+2}$ は、ラグランジュの剰余項の公式より、

$R_{2n+2} = \frac{f^{(2n+2)}(\theta x)}{(2n+2)!} x^{2n+2}$ であり、$f(x) = \cos x$ なので、

$R_{2n+2} = \frac{\cos (\theta x + (n+1)\pi)}{(2n+2)!} x^{2n+2} = (-1)^{n+1} \frac{\cos(\theta x)}{(2n+2)!} x^{2n+2}$

あるいは

$R_{2n+2} = (-1)^{n+2} \frac{\sin(\theta x)}{(2n+2)!} x^{2n+2}$

と書けます。

絶対値で評価すると、

$|R_{2n+2}| \le \frac{|x|^{2n+2}}{(2n+2)!}$

(b) に入るべきは、例えば $(-1)^{n+1} \frac{\cos(\theta x)}{(2n+2)!} x^{2n+2}$ です。

(2) $f(x) = f(0) + xf'(cx)$ より、

$f'(cx) = \frac{f(x) - f(0)}{x}$

$f'(cx)$ をマクローリン展開すると、

$f'(cx) = f'(0) + cxf''(0) + O((cx)^2)$

$f'(cx) = f'(0) + cxf''(0) + \dots$

一方、平均値の定理より、

$\frac{f(x) - f(0)}{x} = f'(\xi)$ ($0 < \xi < x$)

したがって、$f'(cx) = f'(\xi)$ となり、$x \to 0$ のとき $\xi \to 0$ なので、

$f'(cx) \to f'(0)$ と $f'(\xi) \to f'(0)$ に収束します。

$x \to 0$ で $f'(cx) = f'(0) + cxf''(0) + O(x^2)$ であるから、$cxf''(0) \to 0$ となります。

$f''(0) \neq 0$ であるので、$cx \to 0$。したがって、

$\lim_{x \to 0} c = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0) - xf'(0)}{xf''(0)x} = \frac{1}{2}$

(c) に入るべきは $\frac{1}{2}$ です。

(3) $f(x) = f(0) + xf'(cx)$ において、(2) と同様に $f'(cx) = \frac{f(x) - f(0)}{x}$ です。

$f'(cx)$ をマクローリン展開すると、

$f'(cx) = f'(0) + cxf''(0) + \frac{(cx)^2}{2} f'''(0) + O((cx)^3)$

$f''(0) = 0$ なので、

$f'(cx) = f'(0) + \frac{c^2 x^2}{2} f'''(0) + O((cx)^3)$

平均値の定理より、

$\frac{f(x) - f(0)}{x} = f'(\xi)$ ($0 < \xi < x$)

$f'(\xi) = f'(0) + \frac{\xi^2}{2} f'''(0) + \dots$

$\frac{c^2 x^2}{2} f'''(0) = \frac{\xi^2}{2} f'''(0)$

$\lim_{x \to 0} c^2 x^2 = \lim_{x \to 0} \xi^2$ となるので、$c^2 = \frac{\xi^2}{x^2}$ となります。

したがって、$\lim_{x \to 0} c = \pm \frac{\xi}{x}$ となります。ここで、平均値の定理より $0 < \xi < x$ なので、$\lim_{x \to 0} |\xi/x| < 1$ であり、 $0 < c < 1$ なので、$\xi = \theta x$ ($0 < \theta < 1$) とおけて $c = \sqrt{\frac{1}{3}}$.

(d) に入るべきは $\sqrt{\frac{1}{3}}$ です。

3. 最終的な答え

(a) $\frac{(-1)^k}{(2k)!} x^{2k}$

(b) $(-1)^{n+1} \frac{\cos(\theta x)}{(2n+2)!} x^{2n+2}$

(c) $\frac{1}{2}$

(d) $\sqrt{\frac{1}{3}}$