媒介変数 $t$ を用いて、$x = 2\cos t - \cos 2t$、$y = 2\sin t - \sin 2t$ ($0 \leq t \leq \pi$) と表される曲線と、$x$ 軸で囲まれた図形の面積 $S$ を求める問題です。

1. 問題の内容

媒介変数 $t$ を用いて、$x = 2\cos t - \cos 2t$、$y = 2\sin t - \sin 2t$ ($0 \leq t \leq \pi$) と表される曲線と、$x$ 軸で囲まれた図形の面積 $S$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

面積 $S$ は積分を用いて計算できます。媒介変数表示されているので、積分の変数を $x$ から $t$ に変換する必要があります。

まず、面積 $S$ の積分は次のようになります。

$S = \int_{x_1}^{x_2} y \, dx$

ここで、$x_1$ と $x_2$ は曲線の $x$ 軸との交点の $x$ 座標です。

$x$ と $y$ を $t$ で表すと、

$x = 2\cos t - \cos 2t$

$y = 2\sin t - \sin 2t$

$dx = \frac{dx}{dt} dt$ を計算します。

$\frac{dx}{dt} = -2\sin t + 2\sin 2t = -2\sin t + 4\sin t \cos t = 2\sin t(2\cos t - 1)$

$S = \int_{t_1}^{t_2} y \frac{dx}{dt} dt = \int_{t_1}^{t_2} (2\sin t - \sin 2t) (2\sin t(2\cos t - 1)) dt$

$x$ 軸との交点は $y=0$ となる点です。 $2\sin t - \sin 2t = 0$ を解くと、

$2\sin t - 2\sin t \cos t = 0$

$2\sin t (1 - \cos t) = 0$

$\sin t = 0$ または $\cos t = 1$

$0 \leq t \leq \pi$ の範囲で、$t=0$ と $t=\pi$ が解になります。$t_1 = 0$ と $t_2 = \pi$ を代入します。

$S = \int_{0}^{\pi} (2\sin t - \sin 2t) (2\sin t(2\cos t - 1)) dt$

$S = 2 \int_{0}^{\pi} (2\sin t - 2\sin t \cos t) (\sin t(2\cos t - 1)) dt$

$S = 4 \int_{0}^{\pi} (\sin^2 t (2\cos t - 1) - \sin^2 t \cos t (2\cos t - 1)) dt$

$S = 4 \int_{0}^{\pi} (2\sin^2 t \cos t - \sin^2 t - 2\sin^2 t \cos^2 t + \sin^2 t \cos t) dt$

$S = 4 \int_{0}^{\pi} (3\sin^2 t \cos t - \sin^2 t - 2\sin^2 t \cos^2 t) dt$

ここで、$\sin^2 t = \frac{1 - \cos 2t}{2}$ を使って式を整理します。

$S = 4 \int_{0}^{\pi} (3\sin^2 t \cos t - \frac{1 - \cos 2t}{2} - 2 \cdot \frac{1 - \cos 2t}{2} \cos^2 t) dt$

$S = 4 \int_{0}^{\pi} (3\sin^2 t \cos t - \frac{1}{2} + \frac{\cos 2t}{2} - (1-\cos 2t)\cos^2 t )dt$

$S = 4 \int_{0}^{\pi} (3\sin^2 t \cos t - \frac{1}{2} + \frac{\cos 2t}{2} - \cos^2 t + \cos 2t \cos^2 t) dt$

$S = 4 \int_{0}^{\pi} (3\sin^2 t \cos t - \frac{1}{2} + \frac{\cos 2t}{2} - \frac{1+\cos 2t}{2} + \frac{1+\cos 2t}{2}\cos 2t )dt$

$S = 4 \int_{0}^{\pi} (3\sin^2 t \cos t - \frac{1}{2} + \frac{\cos 2t}{2} - \frac{1}{2} - \frac{\cos 2t}{2} + \frac{\cos 2t}{2} + \frac{\cos^2 2t}{2} )dt$

$S = 4 \int_{0}^{\pi} (3\sin^2 t \cos t - 1 + \frac{\cos 2t}{2} + \frac{1 + \cos 4t}{4} )dt$

$S = 4 \int_{0}^{\pi} (3\sin^2 t \cos t - 1 + \frac{\cos 2t}{2} + \frac{1}{4} + \frac{\cos 4t}{4}) dt$

$S = 4 \int_{0}^{\pi} (3\sin^2 t \cos t - \frac{3}{4} + \frac{\cos 2t}{2} + \frac{\cos 4t}{4}) dt$

$S = 4 [ \sin^3 t - \frac{3}{4}t + \frac{\sin 2t}{4} + \frac{\sin 4t}{16} ]_0^{\pi} = 4 [ (0 - \frac{3\pi}{4} + 0 + 0) - (0 - 0 + 0 + 0) ] = -3\pi$

絶対値を取って、

$S = 3\pi$

3. 最終的な答え

$3\pi$