SENSEI AI
About App

与えられた逆三角関数の値を求める問題です。具体的には、以下の9つの値を求めます。 (1) $\sin^{-1}(\frac{1}{2})$ (2) $\sin^{-1}(-\frac{1}{2})$ (3) $\sin^{-1}(1)$ (4) $\cos^{-1}(0)$ (5) $\cos^{-1}(1)$ (6) $\cos^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}})$ (7) $\tan^{-1}(\frac{1}{\sqrt{3}})$ (8) $\tan^{-1}(-1)$ (9) $\tan^{-1}(\infty)$

解析学逆三角関数三角関数arcsinarccosarctan
2025/6/3

1. 問題の内容

与えられた逆三角関数の値を求める問題です。具体的には、以下の9つの値を求めます。
(1) sin⁡−1(12)\sin^{-1}(\frac{1}{2})
(2) sin⁡−1(−12)\sin^{-1}(-\frac{1}{2})
(3) sin⁡−1(1)\sin^{-1}(1)
(4) cos⁡−1(0)\cos^{-1}(0)
(5) cos⁡−1(1)\cos^{-1}(1)
(6) cos⁡−1(12)\cos^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}})
(7) tan⁡−1(13)\tan^{-1}(\frac{1}{\sqrt{3}})
(8) tan⁡−1(−1)\tan^{-1}(-1)
(9) tan⁡−1(∞)\tan^{-1}(\infty)

2. 解き方の手順

逆三角関数の定義に従って、それぞれの値を求めます。
(1) sin⁡−1(12)\sin^{-1}(\frac{1}{2}): sin⁡(θ)=12\sin(\theta) = \frac{1}{2} となる θ\theta を探します。ここで −π2≤θ≤π2-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2} である必要があります。θ=π6\theta = \frac{\pi}{6} が条件を満たします。
(2) sin⁡−1(−12)\sin^{-1}(-\frac{1}{2}): sin⁡(θ)=−12\sin(\theta) = -\frac{1}{2} となる θ\theta を探します。ここで −π2≤θ≤π2-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2} である必要があります。θ=−π6\theta = -\frac{\pi}{6} が条件を満たします。
(3) sin⁡−1(1)\sin^{-1}(1): sin⁡(θ)=1\sin(\theta) = 1 となる θ\theta を探します。ここで −π2≤θ≤π2-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2} である必要があります。θ=π2\theta = \frac{\pi}{2} が条件を満たします。
(4) cos⁡−1(0)\cos^{-1}(0): cos⁡(θ)=0\cos(\theta) = 0 となる θ\theta を探します。ここで 0≤θ≤π0 \le \theta \le \pi である必要があります。θ=π2\theta = \frac{\pi}{2} が条件を満たします。
(5) cos⁡−1(1)\cos^{-1}(1): cos⁡(θ)=1\cos(\theta) = 1 となる θ\theta を探します。ここで 0≤θ≤π0 \le \theta \le \pi である必要があります。θ=0\theta = 0 が条件を満たします。
(6) cos⁡−1(12)\cos^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}}): cos⁡(θ)=12\cos(\theta) = \frac{1}{\sqrt{2}} となる θ\theta を探します。ここで 0≤θ≤π0 \le \theta \le \pi である必要があります。θ=π4\theta = \frac{\pi}{4} が条件を満たします。
(7) tan⁡−1(13)\tan^{-1}(\frac{1}{\sqrt{3}}): tan⁡(θ)=13\tan(\theta) = \frac{1}{\sqrt{3}} となる θ\theta を探します。ここで −π2<θ<π2-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2} である必要があります。θ=π6\theta = \frac{\pi}{6} が条件を満たします。
(8) tan⁡−1(−1)\tan^{-1}(-1): tan⁡(θ)=−1\tan(\theta) = -1 となる θ\theta を探します。ここで −π2<θ<π2-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2} である必要があります。θ=−π4\theta = -\frac{\pi}{4} が条件を満たします。
(9) tan⁡−1(∞)\tan^{-1}(\infty): tan⁡(θ)\tan(\theta) が無限大に発散するような θ\theta を探します。ここで −π2<θ<π2-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2} である必要があります。θ=π2\theta = \frac{\pi}{2} が条件を満たします。

3. 最終的な答え

(1) π6\frac{\pi}{6}
(2) −π6-\frac{\pi}{6}
(3) π2\frac{\pi}{2}
(4) π2\frac{\pi}{2}
(5) 00
(6) π4\frac{\pi}{4}
(7) π6\frac{\pi}{6}
(8) −π4-\frac{\pi}{4}
(9) π2\frac{\pi}{2}

「解析学」の関連問題

関数 $f(x) = |x|$ が $x=0$ で微分可能でないことを示す。

微分可能性絶対値関数極限解析学
2025/6/6

以下の不定積分を計算する問題です。 (1) $\int \sin^{-1} x \, dx$ (2) $\int x \tan^{-1} x \, dx$ (3) $\int x \ln(x^2+1)...

不定積分部分積分積分計算
2025/6/6

問題は、次の不定積分 $I$ と $J$ を計算することです。 $I = \int e^{ax} \sin(bx) dx$ $J = \int e^{ax} \cos(bx) dx$ ただし、$ab ...

積分不定積分部分積分指数関数三角関数Eulerの公式
2025/6/6

与えられた問題は、極限 $\lim_{x \to \infty} \frac{2^x}{x^2}$ を計算することです。

極限ロピタルの定理指数関数
2025/6/6

与えられた極限を求めます。 $$ \lim_{x \to \infty} \frac{2^x}{\pi x^2} $$

極限ロピタルの定理指数関数微分
2025/6/6

与えられた6つの関数 $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求める問題です。

導関数微分多項式関数
2025/6/6

関数 $y = \frac{\sin x}{x}$ について、その1階導関数 $y'$ と2階導関数 $y''$ を求める問題です。

微分導関数商の微分三角関数
2025/6/6

ロピタルの定理を用いて、以下の3つの極限値を求める問題です。 (1) $\lim_{x \to 0} (1 + \sin 2x)^{\frac{1}{x}}$ (2) $\lim_{x \to \in...

極限ロピタルの定理指数関数逆三角関数
2025/6/6

問題は、極限 $\lim_{x\to\infty} \frac{2^x}{x^2}$ を計算することです。

極限ロピタルの定理指数関数
2025/6/6

次の極限を求めます。 $\lim_{x \to \infty} \frac{2e^x + 2}{e^{x+1} + 6x}$

極限指数関数ロピタルの定理関数の極限
2025/6/6