ロピタルの定理を用いて、以下の3つの極限値を求める問題です。 (1) $\lim_{x \to 0} (1 + \sin 2x)^{\frac{1}{x}}$ (2) $\lim_{x \to \infty} x \sin^{-1} \frac{2}{x}$ (3) $\lim_{x \to \infty} \frac{2e^x + x^2}{e^x + 1 + x^3}$

1. 問題の内容

ロピタルの定理を用いて、以下の3つの極限値を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to 0} (1 + \sin 2x)^{\frac{1}{x}}$

(2) $\lim_{x \to \infty} x \sin^{-1} \frac{2}{x}$

(3) $\lim_{x \to \infty} \frac{2e^x + x^2}{e^x + 1 + x^3}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to 0} (1 + \sin 2x)^{\frac{1}{x}}$

$y = (1 + \sin 2x)^{\frac{1}{x}}$ とおくと、

$\ln y = \frac{1}{x} \ln(1 + \sin 2x)$

$\lim_{x \to 0} \ln y = \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + \sin 2x)}{x}$

これは $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を用いると、

$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{2\cos 2x}{1 + \sin 2x}}{1} = \lim_{x \to 0} \frac{2\cos 2x}{1 + \sin 2x} = \frac{2}{1} = 2$

したがって、$\lim_{x \to 0} \ln y = 2$ より、$\lim_{x \to 0} y = e^2$

(2) $\lim_{x \to \infty} x \sin^{-1} \frac{2}{x}$

$t = \frac{1}{x}$ とおくと、$x \to \infty$ のとき、$t \to 0$ なので、

$\lim_{x \to \infty} x \sin^{-1} \frac{2}{x} = \lim_{t \to 0} \frac{\sin^{-1} 2t}{t}$

これは $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を用いると、

$\lim_{t \to 0} \frac{\frac{2}{\sqrt{1 - (2t)^2}}}{1} = \lim_{t \to 0} \frac{2}{\sqrt{1 - 4t^2}} = \frac{2}{\sqrt{1}} = 2$

(3) $\lim_{x \to \infty} \frac{2e^x + x^2}{e^x + 1 + x^3}$

これは $\frac{\infty}{\infty}$ の不定形なので、ロピタルの定理を用いると、

$\lim_{x \to \infty} \frac{2e^x + 2x}{e^x + 3x^2}$

これも $\frac{\infty}{\infty}$ の不定形なので、ロピタルの定理を用いると、

$\lim_{x \to \infty} \frac{2e^x + 2}{e^x + 6x}$

これも $\frac{\infty}{\infty}$ の不定形なので、ロピタルの定理を用いると、

$\lim_{x \to \infty} \frac{2e^x}{e^x + 6}$

これも $\frac{\infty}{\infty}$ の不定形なので、ロピタルの定理を用いると、

$\lim_{x \to \infty} \frac{2e^x}{e^x} = 2$

3. 最終的な答え

(1) $e^2$

(2) $2$

(3) $2$