次の極限を求めます。 $\lim_{x \to \infty} \frac{2e^x + 2}{e^{x+1} + 6x}$

1. 問題の内容

次の極限を求めます。

$\lim_{x \to \infty} \frac{2e^x + 2}{e^{x+1} + 6x}$

2. 解き方の手順

$x \to \infty$ で、指数関数は多項式関数よりもはるかに速く増加します。そのため、$e^x$の項が支配的になります。分子と分母を$e^x$で割ります。

$\lim_{x \to \infty} \frac{2e^x + 2}{e^{x+1} + 6x} = \lim_{x \to \infty} \frac{e^{-x}(2e^x + 2)}{e^{-x}(e^{x+1} + 6x)} = \lim_{x \to \infty} \frac{2 + 2e^{-x}}{e + 6xe^{-x}}$

次に、$\lim_{x \to \infty} e^{-x} = 0$ および $\lim_{x \to \infty} xe^{-x} = 0$ であることに注意します。 $xe^{-x}$ の極限は、ロピタルの定理を使用するか、$e^x$ が $x$ よりも速く増加することから導出できます。

$\lim_{x \to \infty} \frac{2 + 2e^{-x}}{e + 6xe^{-x}} = \frac{2 + 2 \cdot 0}{e + 6 \cdot 0} = \frac{2}{e}$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{e}$