問題は、極限 $\lim_{x\to\infty} \frac{2^x}{x^2}$ を計算することです。

はい、承知いたしました。ロピタルの定理を用いて、与えられた極限値を求める問題を解きます。今回は、問題 (6) $\lim_{x\to\infty} \frac{2^x}{x^2}$ を解きます。

1. 問題の内容

問題は、極限 $\lim_{x\to\infty} \frac{2^x}{x^2}$ を計算することです。

2. 解き方の手順

この極限は $\frac{\infty}{\infty}$ の不定形であるため、ロピタルの定理を適用できます。ロピタルの定理は、関数 $f(x)$ と $g(x)$ が微分可能で、$\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)}$ が $\frac{0}{0}$ または $\frac{\infty}{\infty}$ の形であるとき、$\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ が成り立つというものです。

ステップ1：1回目のロピタルの定理の適用

$f(x) = 2^x$ と $g(x) = x^2$ とします。

$f'(x) = 2^x \ln 2$

$g'(x) = 2x$

したがって、

$\lim_{x\to\infty} \frac{2^x}{x^2} = \lim_{x\to\infty} \frac{2^x \ln 2}{2x}$

この極限も $\frac{\infty}{\infty}$ の不定形です。

ステップ2：2回目のロピタルの定理の適用

$f'(x) = 2^x \ln 2$ と $g'(x) = 2x$ を再度微分します。

$f''(x) = 2^x (\ln 2)^2$

$g''(x) = 2$

したがって、

$\lim_{x\to\infty} \frac{2^x \ln 2}{2x} = \lim_{x\to\infty} \frac{2^x (\ln 2)^2}{2}$

ステップ3：極限の評価

$\lim_{x\to\infty} \frac{2^x (\ln 2)^2}{2} = \infty$

なぜなら、$2^x$ は $x$ が無限大に近づくにつれて無限大に発散するからです。

3. 最終的な答え

$\lim_{x\to\infty} \frac{2^x}{x^2} = \infty$