関数 $y = \frac{\sin x}{x}$ について、その1階導関数 $y'$ と2階導関数 $y''$ を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{\sin x}{x}$ について、その1階導関数 $y'$ と2階導関数 $y''$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $y'$を求める。

$y = \frac{\sin x}{x}$ を微分します。商の微分公式 $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用います。ここで、$u = \sin x$、$v = x$ とすると、$u' = \cos x$、$v' = 1$ となります。したがって、

$y' = \frac{(\cos x)(x) - (\sin x)(1)}{x^2} = \frac{x \cos x - \sin x}{x^2}$

(2) $y''$を求める。

$y' = \frac{x \cos x - \sin x}{x^2}$ を微分します。再び商の微分公式を用います。ここで、$u = x \cos x - \sin x$、$v = x^2$ とすると、

$u' = \cos x - x \sin x - \cos x = -x \sin x$、$v' = 2x$ となります。したがって、

$y'' = \frac{(-x \sin x)(x^2) - (x \cos x - \sin x)(2x)}{(x^2)^2} = \frac{-x^3 \sin x - 2x^2 \cos x + 2x \sin x}{x^4} = \frac{-x^2 \sin x - 2x \cos x + 2 \sin x}{x^3}$

3. 最終的な答え

(1) $y' = \frac{x \cos x - \sin x}{x^2}$

(2) $y'' = \frac{-x^2 \sin x - 2x \cos x + 2 \sin x}{x^3}$