与えられた5つの関数 $z$ について、それぞれ $x$ と $y$ に関する偏導関数 $\frac{\partial z}{\partial x}$ と $\frac{\partial z}{\partial y}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた5つの関数 $z$ について、それぞれ $x$ と $y$ に関する偏導関数 $\frac{\partial z}{\partial x}$ と $\frac{\partial z}{\partial y}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

(a) $z = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$

$\frac{\partial z}{\partial x}$ を求めるには、$y$ を定数とみなして $x$ で微分します。

$\frac{\partial z}{\partial x} = 3x^2 - 6xy + 3y^2$

$\frac{\partial z}{\partial y}$ を求めるには、$x$ を定数とみなして $y$ で微分します。

$\frac{\partial z}{\partial y} = -3x^2 + 6xy - 3y^2$

(b) $z = (xy^2 + x^2y)^2$

$\frac{\partial z}{\partial x}$ を求めるには、$y$ を定数とみなして $x$ で微分します。

まず、合成関数の微分として外側の $()^2$ を微分し、次に内側の $(xy^2 + x^2y)$ を $x$ で微分します。

$\frac{\partial z}{\partial x} = 2(xy^2 + x^2y)(y^2 + 2xy) = 2(xy^2 + x^2y)(y^2 + 2xy)$

$\frac{\partial z}{\partial y}$ を求めるには、$x$ を定数とみなして $y$ で微分します。

$\frac{\partial z}{\partial y} = 2(xy^2 + x^2y)(2xy + x^2) = 2(xy^2 + x^2y)(2xy + x^2)$

(c) $z = \log(xy)$

$\frac{\partial z}{\partial x}$ を求めるには、$y$ を定数とみなして $x$ で微分します。

合成関数の微分として、$\log$ の微分は $\frac{1}{xy}$ になり、次に $xy$ を $x$ で微分すると $y$ になります。

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{xy} \cdot y = \frac{1}{x}$

$\frac{\partial z}{\partial y}$ を求めるには、$x$ を定数とみなして $y$ で微分します。

同様に、

$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{xy} \cdot x = \frac{1}{y}$

(d) $z = \cos(-x^3y^2 + y)$

$\frac{\partial z}{\partial x}$ を求めるには、$y$ を定数とみなして $x$ で微分します。

$\frac{\partial z}{\partial x} = -\sin(-x^3y^2 + y) \cdot (-3x^2y^2) = 3x^2y^2 \sin(-x^3y^2 + y)$

$\frac{\partial z}{\partial y}$ を求めるには、$x$ を定数とみなして $y$ で微分します。

$\frac{\partial z}{\partial y} = -\sin(-x^3y^2 + y) \cdot (-2x^3y + 1) = (2x^3y - 1)\sin(-x^3y^2 + y)$

(e) $z = \tan(\frac{x}{y})$

$\frac{\partial z}{\partial x}$ を求めるには、$y$ を定数とみなして $x$ で微分します。

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{\cos^2(\frac{x}{y})} \cdot \frac{1}{y} = \frac{1}{y\cos^2(\frac{x}{y})}$

$\frac{\partial z}{\partial y}$ を求めるには、$x$ を定数とみなして $y$ で微分します。

$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{\cos^2(\frac{x}{y})} \cdot (-\frac{x}{y^2}) = -\frac{x}{y^2\cos^2(\frac{x}{y})}$

3. 最終的な答え

(a)

$\frac{\partial z}{\partial x} = 3x^2 - 6xy + 3y^2$

$\frac{\partial z}{\partial y} = -3x^2 + 6xy - 3y^2$

(b)

$\frac{\partial z}{\partial x} = 2(xy^2 + x^2y)(y^2 + 2xy)$

$\frac{\partial z}{\partial y} = 2(xy^2 + x^2y)(2xy + x^2)$

(c)

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{x}$

$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{y}$

(d)

$\frac{\partial z}{\partial x} = 3x^2y^2 \sin(-x^3y^2 + y)$

$\frac{\partial z}{\partial y} = (2x^3y - 1)\sin(-x^3y^2 + y)$

(e)

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{y\cos^2(\frac{x}{y})}$

$\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{x}{y^2\cos^2(\frac{x}{y})}$