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与えられた6つの極限値を計算する問題です。具体的には、以下の極限を求める必要があります。 (1) $\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}$ (2) $\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+2x)}{\sin x}$ (3) $\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\pi}{2} - \arctan x}{\sin(\frac{1}{x})}$ (4) $\lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^x}$ (5) $\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - \cos x - \sin 2x}{x^2}$ (6) $\lim_{x \to 0} \frac{e^{3x} - \cos x - 3x}{1 - \cos 2x}$

解析学極限ロピタルの定理微分
2025/6/2
## 問題の解答

1. **問題の内容**

与えられた6つの極限値を計算する問題です。具体的には、以下の極限を求める必要があります。
(1) lim⁡x→∞log⁡xx\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}
(2) lim⁡x→0log⁡(1+2x)sin⁡x\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+2x)}{\sin x}
(3) lim⁡x→∞π2−arctan⁡xsin⁡(1x)\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\pi}{2} - \arctan x}{\sin(\frac{1}{x})}
(4) lim⁡x→∞xex\lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^x}
(5) lim⁡x→0e2x−cos⁡x−sin⁡2xx2\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - \cos x - \sin 2x}{x^2}
(6) lim⁡x→0e3x−cos⁡x−3x1−cos⁡2x\lim_{x \to 0} \frac{e^{3x} - \cos x - 3x}{1 - \cos 2x}

2. **解き方の手順**

(1) lim⁡x→∞log⁡xx\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}
ロピタルの定理を用いる。
lim⁡x→∞log⁡xx=lim⁡x→∞1x1=lim⁡x→∞1x=0 \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{1} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0
(2) lim⁡x→0log⁡(1+2x)sin⁡x\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+2x)}{\sin x}
ロピタルの定理を用いる。
lim⁡x→0log⁡(1+2x)sin⁡x=lim⁡x→021+2xcos⁡x=21+0cos⁡0=21=2 \lim_{x \to 0} \frac{\log(1+2x)}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{1+2x}}{\cos x} = \frac{\frac{2}{1+0}}{\cos 0} = \frac{2}{1} = 2
(3) lim⁡x→∞π2−arctan⁡xsin⁡(1x)\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\pi}{2} - \arctan x}{\sin(\frac{1}{x})}
t=1xt = \frac{1}{x}とおくと、x→∞x \to \inftyのとき、t→0t \to 0となる。また、lim⁡x→∞arctan⁡x=π2\lim_{x \to \infty} \arctan x = \frac{\pi}{2}であり、π2−arctan⁡x=arctan⁡1x\frac{\pi}{2} - \arctan x = \arctan \frac{1}{x}が成り立つ。したがって、
lim⁡x→∞π2−arctan⁡xsin⁡(1x)=lim⁡t→0arctan⁡tsin⁡t \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\pi}{2} - \arctan x}{\sin(\frac{1}{x})} = \lim_{t \to 0} \frac{\arctan t}{\sin t}
ロピタルの定理を用いる。
lim⁡t→0arctan⁡tsin⁡t=lim⁡t→011+t2cos⁡t=11+0cos⁡0=11=1 \lim_{t \to 0} \frac{\arctan t}{\sin t} = \lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{1+t^2}}{\cos t} = \frac{\frac{1}{1+0}}{\cos 0} = \frac{1}{1} = 1
(4) lim⁡x→∞xex\lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^x}
ロピタルの定理を用いる。
lim⁡x→∞xex=lim⁡x→∞1ex=0 \lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^x} = 0
(5) lim⁡x→0e2x−cos⁡x−sin⁡2xx2\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - \cos x - \sin 2x}{x^2}
ロピタルの定理を2回用いる。
lim⁡x→0e2x−cos⁡x−sin⁡2xx2=lim⁡x→02e2x+sin⁡x−2cos⁡2x2x \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - \cos x - \sin 2x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2e^{2x} + \sin x - 2\cos 2x}{2x}
=lim⁡x→04e2x+cos⁡x+4sin⁡2x2=4+1+02=52 = \lim_{x \to 0} \frac{4e^{2x} + \cos x + 4\sin 2x}{2} = \frac{4 + 1 + 0}{2} = \frac{5}{2}
(6) lim⁡x→0e3x−cos⁡x−3x1−cos⁡2x\lim_{x \to 0} \frac{e^{3x} - \cos x - 3x}{1 - \cos 2x}
ロピタルの定理を2回用いる。
lim⁡x→0e3x−cos⁡x−3x1−cos⁡2x=lim⁡x→03e3x+sin⁡x−32sin⁡2x=lim⁡x→09e3x+cos⁡x4cos⁡2x=9+14=104=52 \lim_{x \to 0} \frac{e^{3x} - \cos x - 3x}{1 - \cos 2x} = \lim_{x \to 0} \frac{3e^{3x} + \sin x - 3}{2\sin 2x} = \lim_{x \to 0} \frac{9e^{3x} + \cos x}{4\cos 2x} = \frac{9+1}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}

3. **最終的な答え**

(1) 0
(2) 2
(3) 1
(4) 0
(5) 52\frac{5}{2}
(6) 52\frac{5}{2}

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