(a) 関数 $f(x) = (1+x)^{\frac{2}{3}}$ を $x$ について3次までマクローリン展開する。 (b) $a = (1.1)^{\frac{2}{3}} = 1.065602236...$ とし、(a)で求めたマクローリン展開に基づく0次、1次、2次、3次の近似多項式を利用して得た $(1.1)^{\frac{2}{3}}$ の近似値を $a_0, a_1, a_2, a_3$ とする。近似値と厳密な値との相対誤差 $\sigma_i = |\frac{a_i - a}{a}|$ ($i = 0, 1, 2, 3$) を有効数字2桁で求める。

1. 問題の内容

(a) 関数 $f(x) = (1+x)^{\frac{2}{3}}$ を $x$ について3次までマクローリン展開する。

(b) $a = (1.1)^{\frac{2}{3}} = 1.065602236...$ とし、(a)で求めたマクローリン展開に基づく0次、1次、2次、3次の近似多項式を利用して得た $(1.1)^{\frac{2}{3}}$ の近似値を $a_0, a_1, a_2, a_3$ とする。近似値と厳密な値との相対誤差 $\sigma_i = |\frac{a_i - a}{a}|$ ($i = 0, 1, 2, 3$) を有効数字2桁で求める。

2. 解き方の手順

(a)

$f(x) = (1+x)^{\frac{2}{3}}$ のマクローリン展開を求める。

マクローリン展開は、

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + ...$

で与えられる。

まず、各階の導関数を計算する。

$f(x) = (1+x)^{\frac{2}{3}}$

$f'(x) = \frac{2}{3}(1+x)^{-\frac{1}{3}}$

$f''(x) = \frac{2}{3} \cdot (-\frac{1}{3})(1+x)^{-\frac{4}{3}} = -\frac{2}{9}(1+x)^{-\frac{4}{3}}$

$f'''(x) = -\frac{2}{9} \cdot (-\frac{4}{3})(1+x)^{-\frac{7}{3}} = \frac{8}{27}(1+x)^{-\frac{7}{3}}$

次に、$x=0$ での各導関数の値を計算する。

$f(0) = (1+0)^{\frac{2}{3}} = 1$

$f'(0) = \frac{2}{3}(1+0)^{-\frac{1}{3}} = \frac{2}{3}$

$f''(0) = -\frac{2}{9}(1+0)^{-\frac{4}{3}} = -\frac{2}{9}$

$f'''(0) = \frac{8}{27}(1+0)^{-\frac{7}{3}} = \frac{8}{27}$

したがって、3次までのマクローリン展開は、

$f(x) = 1 + \frac{2}{3}x - \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{2}x^2 + \frac{8}{27} \cdot \frac{1}{6}x^3 + ...$

$f(x) = 1 + \frac{2}{3}x - \frac{1}{9}x^2 + \frac{4}{81}x^3$

(b)

$x = 0.1$ を代入して $a_0, a_1, a_2, a_3$ を求める。

$a_0 = 1$

$a_1 = 1 + \frac{2}{3}(0.1) = 1 + \frac{0.2}{3} = 1 + 0.06666... \approx 1.06666...$

$a_2 = 1 + \frac{2}{3}(0.1) - \frac{1}{9}(0.1)^2 = 1 + \frac{0.2}{3} - \frac{0.01}{9} = 1 + 0.06666... - 0.00111... \approx 1.06555...$

$a_3 = 1 + \frac{2}{3}(0.1) - \frac{1}{9}(0.1)^2 + \frac{4}{81}(0.1)^3 = 1 + \frac{0.2}{3} - \frac{0.01}{9} + \frac{4}{81}(0.001) = 1 + 0.06666... - 0.00111... + 0.00004938... \approx 1.065598...$

$a = 1.065602236...$ を用いて、相対誤差 $\sigma_i = |\frac{a_i - a}{a}|$ を計算する。

$\sigma_0 = |\frac{1 - 1.065602236}{1.065602236}| = |\frac{-0.065602236}{1.065602236}| \approx 0.06156$

$\sigma_1 = |\frac{1.06666... - 1.065602236}{1.065602236}| \approx |\frac{0.001064}{1.0656}| \approx 0.000998... \approx 0.0010$

$\sigma_2 = |\frac{1.06555... - 1.065602236}{1.065602236}| \approx |\frac{-0.000047}{1.0656}| \approx 0.00004411...$

$\sigma_3 = |\frac{1.065598... - 1.065602236}{1.065602236}| \approx |\frac{-0.00000423}{1.0656}| \approx 0.00000397...$

有効数字2桁で表現する。

$\sigma_0 = 0.062$

$\sigma_1 = 0.0010 = 1.0 \times 10^{-3}$

$\sigma_2 = 0.000044 = 4.4 \times 10^{-5}$

$\sigma_3 = 0.0000040 = 4.0 \times 10^{-6}$

3. 最終的な答え

(a) $f(x) = 1 + \frac{2}{3}x - \frac{1}{9}x^2 + \frac{4}{81}x^3$

(b) $\sigma_0 = 0.062$, $\sigma_1 = 0.0010$, $\sigma_2 = 4.4 \times 10^{-5}$, $\sigma_3 = 4.0 \times 10^{-6}$