与えられた関数について、指定された点における指定された次数のテイラー多項式を求める問題です。具体的には、以下の4つの関数について、指定された点と次数でテイラー多項式を求めます。 (1) $f(x) = e^{2x}$, $x=0$, 3次 (2) $f(x) = e^{2x}$, $x=\pi$, 3次 (3) $f(x) = e^{-x}$, $x=1$, 3次 (4) $f(x) = \sin x$, $x=\frac{\pi}{2}$, 5次

1. 問題の内容

与えられた関数について、指定された点における指定された次数のテイラー多項式を求める問題です。具体的には、以下の4つの関数について、指定された点と次数でテイラー多項式を求めます。

(1) $f(x) = e^{2x}$, $x=0$, 3次

(2) $f(x) = e^{2x}$, $x=\pi$, 3次

(3) $f(x) = e^{-x}$, $x=1$, 3次

(4) $f(x) = \sin x$, $x=\frac{\pi}{2}$, 5次

2. 解き方の手順

テイラー多項式は、関数$f(x)$の点$a$における$n$次のテイラー多項式$T_n(x)$は、以下の式で表されます。

$T_n(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$

各関数について、必要な階数までの導関数を計算し、指定された点における値を求め、テイラー多項式を構成します。

(1) $f(x) = e^{2x}$, $x=0$, 3次

$f(x) = e^{2x}$

$f'(x) = 2e^{2x}$

$f''(x) = 4e^{2x}$

$f'''(x) = 8e^{2x}$

$f(0) = e^0 = 1$

$f'(0) = 2e^0 = 2$

$f''(0) = 4e^0 = 4$

$f'''(0) = 8e^0 = 8$

$T_3(x) = 1 + 2x + \frac{4}{2!}x^2 + \frac{8}{3!}x^3 = 1 + 2x + 2x^2 + \frac{4}{3}x^3$

(2) $f(x) = e^{2x}$, $x=\pi$, 3次

$f(x) = e^{2x}$

$f'(x) = 2e^{2x}$

$f''(x) = 4e^{2x}$

$f'''(x) = 8e^{2x}$

$f(\pi) = e^{2\pi}$

$f'(\pi) = 2e^{2\pi}$

$f''(\pi) = 4e^{2\pi}$

$f'''(\pi) = 8e^{2\pi}$

$T_3(x) = e^{2\pi} + 2e^{2\pi}(x-\pi) + \frac{4e^{2\pi}}{2!}(x-\pi)^2 + \frac{8e^{2\pi}}{3!}(x-\pi)^3 = e^{2\pi} + 2e^{2\pi}(x-\pi) + 2e^{2\pi}(x-\pi)^2 + \frac{4}{3}e^{2\pi}(x-\pi)^3$

(3) $f(x) = e^{-x}$, $x=1$, 3次

$f(x) = e^{-x}$

$f'(x) = -e^{-x}$

$f''(x) = e^{-x}$

$f'''(x) = -e^{-x}$

$f(1) = e^{-1}$

$f'(1) = -e^{-1}$

$f''(1) = e^{-1}$

$f'''(1) = -e^{-1}$

$T_3(x) = e^{-1} - e^{-1}(x-1) + \frac{e^{-1}}{2!}(x-1)^2 - \frac{e^{-1}}{3!}(x-1)^3 = e^{-1} - e^{-1}(x-1) + \frac{1}{2}e^{-1}(x-1)^2 - \frac{1}{6}e^{-1}(x-1)^3$

(4) $f(x) = \sin x$, $x=\frac{\pi}{2}$, 5次

$f(x) = \sin x$

$f'(x) = \cos x$

$f''(x) = -\sin x$

$f'''(x) = -\cos x$

$f^{(4)}(x) = \sin x$

$f^{(5)}(x) = \cos x$

$f(\frac{\pi}{2}) = \sin \frac{\pi}{2} = 1$

$f'(\frac{\pi}{2}) = \cos \frac{\pi}{2} = 0$

$f''(\frac{\pi}{2}) = -\sin \frac{\pi}{2} = -1$

$f'''(\frac{\pi}{2}) = -\cos \frac{\pi}{2} = 0$

$f^{(4)}(\frac{\pi}{2}) = \sin \frac{\pi}{2} = 1$

$f^{(5)}(\frac{\pi}{2}) = \cos \frac{\pi}{2} = 0$

$T_5(x) = 1 + 0(x-\frac{\pi}{2}) + \frac{-1}{2!}(x-\frac{\pi}{2})^2 + \frac{0}{3!}(x-\frac{\pi}{2})^3 + \frac{1}{4!}(x-\frac{\pi}{2})^4 + \frac{0}{5!}(x-\frac{\pi}{2})^5 = 1 - \frac{1}{2}(x-\frac{\pi}{2})^2 + \frac{1}{24}(x-\frac{\pi}{2})^4$

3. 最終的な答え

(1) $T_3(x) = 1 + 2x + 2x^2 + \frac{4}{3}x^3$

(2) $T_3(x) = e^{2\pi} + 2e^{2\pi}(x-\pi) + 2e^{2\pi}(x-\pi)^2 + \frac{4}{3}e^{2\pi}(x-\pi)^3$

(3) $T_3(x) = e^{-1} - e^{-1}(x-1) + \frac{1}{2}e^{-1}(x-1)^2 - \frac{1}{6}e^{-1}(x-1)^3$

(4) $T_5(x) = 1 - \frac{1}{2}(x-\frac{\pi}{2})^2 + \frac{1}{24}(x-\frac{\pi}{2})^4$