与えられた6つの極限値を求める問題です。 (1) $\lim_{x \to +0} xe^{\frac{1}{x}}$ (2) $\lim_{x \to \infty} (x^2 - \sqrt{x^4 + 3x^2})$ (3) $\lim_{x \to \infty} (1+x^2)^{\frac{1}{\log x}}$ (4) $\lim_{x \to \infty} (1+e^x)^{\frac{1}{x}}$ (5) $\lim_{x \to \infty} x(\frac{\pi}{2} - \arctan x)$ (6) $\lim_{x \to \infty} (\frac{2}{\pi} - \arctan x)^x$

1. 問題の内容

与えられた6つの極限値を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to +0} xe^{\frac{1}{x}}$

(2) $\lim_{x \to \infty} (x^2 - \sqrt{x^4 + 3x^2})$

(3) $\lim_{x \to \infty} (1+x^2)^{\frac{1}{\log x}}$

(4) $\lim_{x \to \infty} (1+e^x)^{\frac{1}{x}}$

(5) $\lim_{x \to \infty} x(\frac{\pi}{2} - \arctan x)$

(6) $\lim_{x \to \infty} (\frac{2}{\pi} - \arctan x)^x$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to +0} xe^{\frac{1}{x}}$

$t = \frac{1}{x}$ とおくと、$x \to +0$ のとき $t \to +\infty$ なので、

$\lim_{x \to +0} xe^{\frac{1}{x}} = \lim_{t \to +\infty} \frac{e^t}{t} = +\infty$

(2) $\lim_{x \to \infty} (x^2 - \sqrt{x^4 + 3x^2})$

$\lim_{x \to \infty} (x^2 - \sqrt{x^4 + 3x^2}) = \lim_{x \to \infty} \frac{(x^2 - \sqrt{x^4 + 3x^2})(x^2 + \sqrt{x^4 + 3x^2})}{x^2 + \sqrt{x^4 + 3x^2}}$

$= \lim_{x \to \infty} \frac{x^4 - (x^4 + 3x^2)}{x^2 + \sqrt{x^4 + 3x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{-3x^2}{x^2 + \sqrt{x^4 + 3x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{-3x^2}{x^2 + x^2\sqrt{1 + \frac{3}{x^2}}} = \lim_{x \to \infty} \frac{-3}{1 + \sqrt{1 + \frac{3}{x^2}}} = \frac{-3}{1 + 1} = -\frac{3}{2}$

(3) $\lim_{x \to \infty} (1+x^2)^{\frac{1}{\log x}}$

$y = (1+x^2)^{\frac{1}{\log x}}$ とおくと、$\log y = \frac{1}{\log x} \log (1+x^2)$

$\lim_{x \to \infty} \log y = \lim_{x \to \infty} \frac{\log (1+x^2)}{\log x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2x}{1+x^2}}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2}{1+x^2} = 2$

したがって、$\lim_{x \to \infty} y = e^2$

(4) $\lim_{x \to \infty} (1+e^x)^{\frac{1}{x}}$

$\lim_{x \to \infty} (1+e^x)^{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to \infty} (e^x(e^{-x}+1))^{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to \infty} e (1+e^{-x})^{\frac{1}{x}} = e \cdot 1 = e$

(5) $\lim_{x \to \infty} x(\frac{\pi}{2} - \arctan x)$

$t = \arctan x$ とおくと、$x \to \infty$ のとき $t \to \frac{\pi}{2}$ であり、$x = \tan t$。したがって、

$\lim_{x \to \infty} x(\frac{\pi}{2} - \arctan x) = \lim_{t \to \frac{\pi}{2}} \tan t (\frac{\pi}{2} - t) = \lim_{t \to \frac{\pi}{2}} \frac{\sin t}{\cos t}(\frac{\pi}{2} - t)$

$u = \frac{\pi}{2} - t$ とおくと、$t \to \frac{\pi}{2}$ のとき $u \to 0$ であり、

$\lim_{u \to 0} \frac{\sin (\frac{\pi}{2} - u)}{\cos(\frac{\pi}{2} - u)} u = \lim_{u \to 0} \frac{\cos u}{\sin u} u = \lim_{u \to 0} \cos u \cdot \frac{u}{\sin u} = 1 \cdot 1 = 1$

(6) $\lim_{x \to \infty} (\frac{2}{\pi} - \arctan x)^x$

$\lim_{x \to \infty} (\frac{2}{\pi} - \frac{\arctan x}{x})^x = \lim_{x \to \infty} (\frac{2 - \pi \arctan x}{\pi})^x$

$\arctan x = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{x} + O(\frac{1}{x^3})$ なので、

$\lim_{x \to \infty} (\frac{2}{\pi} - \arctan x)^x = \lim_{x \to \infty} (\frac{2}{\pi} - (\frac{\pi}{2} - \frac{1}{x}))^x = \lim_{x \to \infty} (-\frac{\pi}{2} + \frac{1}{x} + \frac{2}{\pi})^x$

3. 最終的な答え

(1) $\infty$

(2) $-\frac{3}{2}$

(3) $e^2$

(4) $e$

(5) $1$

(6) 0