定積分 $\int_{-1}^{3} |x| dx$ の値を求めます。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-1}^{3} |x| dx$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

絶対値関数 $|x|$ は、$x < 0$ のとき $|x| = -x$ であり、$x \ge 0$ のとき $|x| = x$ です。

したがって、積分区間を $x=-1$ から $x=0$ までと $x=0$ から $x=3$ までに分割します。

$\int_{-1}^{3} |x| dx = \int_{-1}^{0} |x| dx + \int_{0}^{3} |x| dx$

$\int_{-1}^{0} |x| dx = \int_{-1}^{0} -x dx = [-\frac{x^2}{2}]_{-1}^{0} = (-\frac{0^2}{2}) - (-\frac{(-1)^2}{2}) = 0 - (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$

$\int_{0}^{3} |x| dx = \int_{0}^{3} x dx = [\frac{x^2}{2}]_{0}^{3} = \frac{3^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{9}{2} - 0 = \frac{9}{2}$

よって、

$\int_{-1}^{3} |x| dx = \frac{1}{2} + \frac{9}{2} = \frac{10}{2} = 5$

3. 最終的な答え

5