問題3の(1)と(2)は、正の数 $a, b$ に対して、それぞれ次の関数の最大値と最小値（もしあれば）を求める問題です。 (1) $x^a (1-x)^b$ ($0 \le x \le 1$) (2) $x^a + x^{-b}$ ($x > 0$)

1. 問題の内容

問題3の(1)と(2)は、正の数 $a, b$ に対して、それぞれ次の関数の最大値と最小値（もしあれば）を求める問題です。

(1) $x^a (1-x)^b$ ($0 \le x \le 1$)

(2) $x^a + x^{-b}$ ($x > 0$)

2. 解き方の手順

(1) 関数 $f(x) = x^a (1-x)^b$ ($0 \le x \le 1$) の最大値、最小値を求めます。

- まず、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を計算します。

$f'(x) = a x^{a-1} (1-x)^b - b x^a (1-x)^{b-1} = x^{a-1} (1-x)^{b-1} [a(1-x) - bx]$

- $f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$a(1-x) - bx = 0$ より、 $x = \frac{a}{a+b}$

- $f(0) = 0$, $f(1) = 0$ であり、$0 < \frac{a}{a+b} < 1$ です。

- $x = \frac{a}{a+b}$ における $f(x)$ の値を計算します。

$f(\frac{a}{a+b}) = (\frac{a}{a+b})^a (1 - \frac{a}{a+b})^b = (\frac{a}{a+b})^a (\frac{b}{a+b})^b = \frac{a^a b^b}{(a+b)^{a+b}}$

- よって、$f(x)$ の最大値は $\frac{a^a b^b}{(a+b)^{a+b}}$ であり、最小値は 0 です。

(2) 関数 $g(x) = x^a + x^{-b}$ ($x > 0$) の最大値、最小値を求めます。

- まず、$g(x)$ の導関数 $g'(x)$ を計算します。

$g'(x) = a x^{a-1} - b x^{-b-1}$

- $g'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$a x^{a-1} = b x^{-b-1}$ より、$x^{a+b} = \frac{b}{a}$　したがって、$x = (\frac{b}{a})^{\frac{1}{a+b}}$

- $x = (\frac{b}{a})^{\frac{1}{a+b}}$ の前後で $g'(x)$ の符号が変わることを確認します。$g'(x)$ は $x < (\frac{b}{a})^{\frac{1}{a+b}}$で負、$x > (\frac{b}{a})^{\frac{1}{a+b}}$で正なので、$x = (\frac{b}{a})^{\frac{1}{a+b}}$で極小かつ最小になります。

- $x = (\frac{b}{a})^{\frac{1}{a+b}}$ における $g(x)$ の値を計算します。

$g((\frac{b}{a})^{\frac{1}{a+b}}) = (\frac{b}{a})^{\frac{a}{a+b}} + (\frac{b}{a})^{\frac{-b}{a+b}} = (\frac{b}{a})^{\frac{a}{a+b}} + (\frac{a}{b})^{\frac{b}{a+b}} = (\frac{1}{a^{a/(a+b)}b^{-a/(a+b)}})+(\frac{1}{b^{b/(a+b)}a^{-b/(a+b)}})$

$= a^{b/(a+b)}b^{a/(a+b)}+a^{b/(a+b)}b^{a/(a+b)} =a^{\frac{b}{a+b}}b^{\frac{a}{a+b}}+b^{\frac{a}{a+b}}a^{\frac{b}{a+b}}$

よって、最小值は$a^{\frac{b}{a+b}}b^{\frac{a}{a+b}}+b^{\frac{a}{a+b}}a^{\frac{b}{a+b}}$

- $x \to 0$ のとき $g(x) \to \infty$, $x \to \infty$ のとき $g(x) \to \infty$ なので、最大値はありません。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: $\frac{a^a b^b}{(a+b)^{a+b}}$, 最小値: 0

(2) 最大値: なし, 最小値: $a^{\frac{b}{a+b}}b^{\frac{a}{a+b}}+b^{\frac{a}{a+b}}a^{\frac{b}{a+b}}$