与えられた微分方程式 $x \frac{dy}{dx} + y = y^2 \log x$ を解く問題です。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式 $x \frac{dy}{dx} + y = y^2 \log x$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた微分方程式を Bernoulli 微分方程式の形に変形します。Bernoulli 微分方程式は、一般的に

$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)y^n$

の形をしています。

まず、与えられた式を $x$ で割ります。

$\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x} y = \frac{y^2}{x} \log x$

次に、Bernoulli 微分方程式を解くために、変数変換を行います。$v = y^{1-n}$ とおきます。ここで、$n=2$ なので、$v = y^{1-2} = y^{-1}$ となります。

$v = \frac{1}{y}$ より、$y = \frac{1}{v}$ なので、$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{v^2} \frac{dv}{dx}$ となります。

これを元の式に代入します。

$-\frac{1}{v^2} \frac{dv}{dx} + \frac{1}{x} \frac{1}{v} = \frac{1}{x} \frac{1}{v^2} \log x$

両辺に $-v^2$ を掛けます。

$\frac{dv}{dx} - \frac{1}{x} v = - \frac{1}{x} \log x$

これは、線形微分方程式です。積分因子を求めます。

$I(x) = e^{\int -\frac{1}{x} dx} = e^{-\log x} = e^{\log x^{-1}} = \frac{1}{x}$

両辺に積分因子 $\frac{1}{x}$ を掛けます。

$\frac{1}{x} \frac{dv}{dx} - \frac{1}{x^2} v = - \frac{1}{x^2} \log x$

$\frac{d}{dx} (\frac{1}{x} v) = - \frac{1}{x^2} \log x$

両辺を積分します。

$\int \frac{d}{dx} (\frac{1}{x} v) dx = \int - \frac{1}{x^2} \log x dx$

$\frac{1}{x} v = \int - \frac{1}{x^2} \log x dx$

部分積分を行います。$u = \log x$, $dv = -\frac{1}{x^2} dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = \frac{1}{x}$ です。

$\int - \frac{1}{x^2} \log x dx = \frac{1}{x} \log x - \int \frac{1}{x} \frac{1}{x} dx = \frac{\log x}{x} - \int \frac{1}{x^2} dx = \frac{\log x}{x} + \frac{1}{x} + C$

したがって、

$\frac{1}{x} v = \frac{\log x}{x} + \frac{1}{x} + C$

$v = \log x + 1 + Cx$

$v = \frac{1}{y}$ だったので、

$\frac{1}{y} = \log x + 1 + Cx$

3. 最終的な答え

$y = \frac{1}{\log x + 1 + Cx}$