定積分 $\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin t}{1 - \cos^2 t} dt$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin t}{1 - \cos^2 t} dt$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の恒等式 $1 - \cos^2 t = \sin^2 t$ を利用して、積分を簡略化します。

すると、

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\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin t}{1 - \cos^2 t} dt = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin t}{\sin^2 t} dt = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sin t} dt = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \csc t dt

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となります。

次に、$\csc t$ の積分を計算します。 $\csc t$ の積分は一般的に知られています。

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\int \csc t \, dt = - \ln | \csc t + \cot t | + C

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したがって、

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\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \csc t dt = \left[ - \ln | \csc t + \cot t | \right]_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}

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ここで、$\csc \frac{\pi}{2} = 1$, $\cot \frac{\pi}{2} = 0$, $\csc \frac{\pi}{3} = \frac{2}{\sqrt{3}}$, $\cot \frac{\pi}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ であるため、

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\left[ - \ln | \csc t + \cot t | \right]_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} = - \ln | 1 + 0 | - \left( - \ln \left| \frac{2}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}} \right| \right) = - \ln 1 + \ln \left( \frac{3}{\sqrt{3}} \right) = 0 + \ln \sqrt{3} = \ln 3^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \ln 3

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となります。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2} \ln 3$