定積分 $\int_{1}^{2} \frac{1}{(x+1)^2} dx$ の値を計算し、$\frac{A}{B}$ と $\frac{C}{D}$ に当てはまる値を求める問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{2} \frac{1}{(x+1)^2} dx$ の値を計算し、$\frac{A}{B}$ と $\frac{C}{D}$ に当てはまる値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、不定積分を計算します。

$\int \frac{1}{(x+1)^2} dx = \int (x+1)^{-2} dx$

$u = x+1$ と置換すると、$du = dx$ となります。

$\int u^{-2} du = -u^{-1} + C = -\frac{1}{u} + C = -\frac{1}{x+1} + C$

次に、定積分を計算します。

$\int_{1}^{2} \frac{1}{(x+1)^2} dx = \left[-\frac{1}{x+1}\right]_{1}^{2}$

$= -\frac{1}{2+1} - \left(-\frac{1}{1+1}\right)$

$= -\frac{1}{3} + \frac{1}{2}$

$= \frac{-2+3}{6} = \frac{1}{6}$

$\left[-\frac{1}{x+1}\right]_{1}^{2} = \left[-\frac{A}{x+1}\right]_{1}^{2}$ と比較すると、$A=1$。$B = 1$。

最終的な答え $\frac{1}{6} = \frac{C}{D}$ と比較すると、$C=1$、$D=6$。

3. 最終的な答え

A = 1

B = 1

C = 1

D = 6