定積分 $\int_{1}^{2} \frac{1}{(x+1)^2} dx$ の値を求め、指定された形式 $\frac{C}{D}$ で答える問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{2} \frac{1}{(x+1)^2} dx$ の値を求め、指定された形式 $\frac{C}{D}$ で答える問題です。

2. 解き方の手順

まず、積分を計算します。

$\int (x+1)^{-2} dx = -(x+1)^{-1} + C = -\frac{1}{x+1} + C$

ここで、$C$は積分定数です。

次に、定積分の範囲[1, 2]で評価します。

$\int_{1}^{2} \frac{1}{(x+1)^2} dx = \left[-\frac{1}{x+1}\right]_1^2 = -\frac{1}{2+1} - \left(-\frac{1}{1+1}\right) = -\frac{1}{3} + \frac{1}{2}$

最後に、分数を計算します。

$-\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{-2+3}{6} = \frac{1}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{6}$

したがって、A=1, B=x+1, C=1, D=6 となります。