与えられた関数 $y = (\cos x)^{x^2}$ を微分し、$dy/dx$ を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = (\cos x)^{x^2}$ を微分し、$dy/dx$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、両辺の自然対数を取ります。

$\ln y = \ln (\cos x)^{x^2}$

対数の性質より、

$\ln y = x^2 \ln (\cos x)$

次に、両辺を $x$ で微分します。左辺は連鎖律を使い、$d(\ln y)/dx = (1/y) \cdot dy/dx$ となります。右辺は積の微分法を用います。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 2x \ln(\cos x) + x^2 \frac{1}{\cos x} (-\sin x)$

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 2x \ln(\cos x) - x^2 \tan x$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = y [2x \ln(\cos x) - x^2 \tan x]$

$y = (\cos x)^{x^2}$ を代入すると、

$\frac{dy}{dx} = (\cos x)^{x^2} [2x \ln(\cos x) - x^2 \tan x]$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = (\cos x)^{x^2} [2x \ln(\cos x) - x^2 \tan x]$