関数 $y = \frac{2x-1}{x-2}$ の漸近線の式を求め、$y = \frac{1}{x}$ のグラフをどのように変形・移動したものか答え、与えられた関数のグラフを描く。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{2x-1}{x-2}$ の漸近線の式を求め、$y = \frac{1}{x}$ のグラフをどのように変形・移動したものか答え、与えられた関数のグラフを描く。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を変形します。

$y = \frac{2x-1}{x-2} = \frac{2(x-2) + 4 - 1}{x-2} = \frac{2(x-2) + 3}{x-2} = 2 + \frac{3}{x-2}$

この式から、漸近線を求めることができます。

分母が0になる$x$の値は$x=2$なので、垂直な漸近線は$x=2$です。

$x$が非常に大きいとき、$y$は$2$に近づくので、水平な漸近線は$y=2$です。

次に、$y = \frac{1}{x}$ のグラフがどのように変形されたかを考えます。

$y = 2 + \frac{3}{x-2} = 3 \cdot \frac{1}{x-2} + 2$

これは、$y = \frac{1}{x}$ のグラフを以下の手順で変換したものです。

1. $x$軸方向に$2$だけ平行移動：$\frac{1}{x} \rightarrow \frac{1}{x-2}$

2. $y$軸方向に$3$倍に拡大：$\frac{1}{x-2} \rightarrow \frac{3}{x-2}$

3. $y$軸方向に$2$だけ平行移動：$\frac{3}{x-2} \rightarrow \frac{3}{x-2} + 2$

3. 最終的な答え

漸近線：$x = 2$ と $y = 2$

変形：$y = \frac{1}{x}$ のグラフを $x$軸方向に$2$だけ平行移動し、$y$軸方向に$3$倍に拡大し、$y$軸方向に$2$だけ平行移動したもの。