$xy$平面上のスカラー場 $z = xy + xy^2$ の勾配（gradient）$\nabla z$ を求める問題です。

1. 問題の内容

$xy$平面上のスカラー場 $z = xy + xy^2$ の勾配（gradient）$\nabla z$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

スカラー場 $z(x, y)$ の勾配は、次のように定義されます。

$\nabla z = \left(\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}\right)$

まず、$z$ を $x$ で偏微分します。

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(xy + xy^2) = y + y^2$

次に、$z$ を $y$ で偏微分します。

$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(xy + xy^2) = x + 2xy$

したがって、勾配 $\nabla z$ は次のようになります。

$\nabla z = (y + y^2, x + 2xy)$

3. 最終的な答え

$\nabla z = (y + y^2, x + 2xy)$