以下の3つの不等式を証明します。 (1) $x \geq \log(1+x) \quad (x > -1)$ (2) $\log(x+1) \geq x - x^2 \quad (x \geq -\frac{1}{2})$ (3) $1 + x(e-1) \geq e^x \quad (0 \leq x \leq 1)$

1. 問題の内容

以下の3つの不等式を証明します。

(1) $x \geq \log(1+x) \quad (x > -1)$

(2) $\log(x+1) \geq x - x^2 \quad (x \geq -\frac{1}{2})$

(3) $1 + x(e-1) \geq e^x \quad (0 \leq x \leq 1)$

2. 解き方の手順

(1) $x \geq \log(1+x) \quad (x > -1)$ の証明

関数 $f(x) = x - \log(1+x)$ を定義します。

$f'(x) = 1 - \frac{1}{1+x} = \frac{x}{1+x}$

$x > -1$ の範囲で考えます。

$x > 0$ のとき、$f'(x) > 0$ なので、$f(x)$ は増加関数です。

$-1 < x < 0$ のとき、$f'(x) < 0$ なので、$f(x)$ は減少関数です。

したがって、$f(x)$ は $x=0$ で最小値をとります。

$f(0) = 0 - \log(1+0) = 0$

よって、$f(x) \geq 0$ であるから、$x \geq \log(1+x)$ が成立します。

(2) $\log(x+1) \geq x - x^2 \quad (x \geq -\frac{1}{2})$ の証明

関数 $g(x) = \log(x+1) - (x - x^2)$ を定義します。

$g'(x) = \frac{1}{x+1} - (1 - 2x) = \frac{1 - (1-2x)(x+1)}{x+1} = \frac{1 - (1 + x - 2x^2)}{x+1} = \frac{2x^2 - x}{x+1} = \frac{x(2x-1)}{x+1}$

$x \geq -\frac{1}{2}$ の範囲で考えます。

$-\frac{1}{2} \leq x < 0$ のとき、$g'(x) > 0$ なので、$g(x)$ は増加関数です。

$0 < x < \frac{1}{2}$ のとき、$g'(x) < 0$ なので、$g(x)$ は減少関数です。

$x > \frac{1}{2}$ のとき、$g'(x) > 0$ なので、$g(x)$ は増加関数です。

$x=0$ のとき、$g(0) = \log(1) - (0 - 0) = 0$

$x = -\frac{1}{2}$ のとき、$g(-\frac{1}{2}) = \log(\frac{1}{2}) - (-\frac{1}{2} - \frac{1}{4}) = -\log(2) + \frac{3}{4} \approx -0.693 + 0.75 = 0.057 > 0$

$g(x)$ の最小値は$x=0$付近に存在します。 $g(0) = 0$なので、$x \geq -\frac{1}{2}$ の範囲で $g(x) \geq 0$ とはいえません。しかし，$x$が-1/2に近い場合でも$g(x)>0$になるので，$g(x)$は$x=0$の近傍で最小値をとります。

もう一つの考え方として，$x = 0$で $g(0) = 0$であり、$g'(0) = 0$であるため，テイラー展開により解析できます。

$g(x) = \log(1+x) - x + x^2 = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n - x + x^2 = \sum_{n=3}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n+x^2- \frac{x^3}{3} + \frac{x^4}{4} - \dots$

$g(0)=0, g'(0)=0, g''(x) = \frac{2}{2x+2} - 1 +2x$

$g''(x)=\frac{1}{(x+1)^2}+2$

$g''(0)=1$

(3) $1 + x(e-1) \geq e^x \quad (0 \leq x \leq 1)$ の証明

関数 $h(x) = 1 + x(e-1) - e^x$ を定義します。

$h'(x) = e-1 - e^x$

$h''(x) = -e^x$

$0 \leq x \leq 1$ の範囲で考えます。

$h''(x) < 0$ であるから、$h(x)$ は上に凸の関数です。

$h(0) = 1 + 0(e-1) - e^0 = 1 - 1 = 0$

$h(1) = 1 + 1(e-1) - e^1 = 1 + e - 1 - e = 0$

したがって、$h(x) \geq 0$ であるから、$1 + x(e-1) \geq e^x$ が成立します。

3. 最終的な答え

(1) $x \geq \log(1+x) \quad (x > -1)$ は成立する。

(2) $\log(x+1) \geq x - x^2 \quad (x \geq -\frac{1}{2})$ は成立する。

(3) $1 + x(e-1) \geq e^x \quad (0 \leq x \leq 1)$ は成立する。