$x > 0$ かつ $\log x \neq 0$ より、$x > 0$ かつ $x \neq 1$。したがって、定義域は $0 < x < 1$ および $x > 1$。

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1. 問題の内容

問題は以下の通りです。

3. 以下の関数のグラフを描け。

(1) $y = \frac{x}{\log x} \quad (x > 0)$

(2) $y = \frac{e^x}{x} \quad (x \neq 0)$

(3) $y = x^x \quad (x \ge 0, 0^0 = 1)$

4. 次の不等式を証明せよ。

(1) $x \ge \log(1+x) \quad (x > -1)$

(2) $\log(x+1) \ge x - x^2 \quad (x \ge -\frac{1}{2})$

(3) $1 + x(e-1) \ge e^x \quad (0 \le x \le 1)$

ここでは、3.のグラフを描く問題のみを解きます。

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2. 解き方の手順

### 3.(1) $y = \frac{x}{\log x} \quad (x > 0)$

1. **定義域の確認**:

$x > 0$ かつ $\log x \neq 0$ より、$x > 0$ かつ $x \neq 1$。したがって、定義域は $0 < x < 1$ および $x > 1$。

2. **極限**:

* $\lim_{x \to 0^+} \frac{x}{\log x} = 0$

* $\lim_{x \to 1^-} \frac{x}{\log x} = -\infty$

* $\lim_{x \to 1^+} \frac{x}{\log x} = \infty$

* $\lim_{x \to \infty} \frac{x}{\log x} = \infty$ (ロピタルの定理より)

3. **微分**:

$y' = \frac{\log x - 1}{(\log x)^2}$

4. **増減**:

$y' = 0$ となるのは $\log x = 1$、つまり $x = e$ のとき。

* $0 < x < 1$ のとき、$y' < 0$。

* $1 < x < e$ のとき、$y' < 0$。

* $x > e$ のとき、$y' > 0$。

5. **極値**:

$x = e$ で極小値 $y = \frac{e}{1} = e$ をとる。

### 3.(2) $y = \frac{e^x}{x} \quad (x \neq 0)$

1. **定義域**:

$x \neq 0$。

2. **極限**:

* $\lim_{x \to 0^-} \frac{e^x}{x} = -\infty$

* $\lim_{x \to 0^+} \frac{e^x}{x} = \infty$

* $\lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x} = \infty$ (ロピタルの定理より)

* $\lim_{x \to -\infty} \frac{e^x}{x} = 0$

3. **微分**:

$y' = \frac{e^x x - e^x}{x^2} = \frac{e^x(x-1)}{x^2}$

4. **増減**:

$y' = 0$ となるのは $x = 1$ のとき。

* $x < 0$ のとき、$y' < 0$。

* $0 < x < 1$ のとき、$y' < 0$。

* $x > 1$ のとき、$y' > 0$。

5. **極値**:

$x = 1$ で極小値 $y = e$ をとる。

### 3.(3) $y = x^x \quad (x \ge 0, 0^0 = 1)$

1. **定義域**:

$x \ge 0$。

2. **変形**:

$y = e^{x \log x}$

3. **極限**:

$\lim_{x \to 0^+} x \log x = 0$ より、$\lim_{x \to 0^+} e^{x \log x} = e^0 = 1$。したがって、$0^0 = 1$ となるように定義されている。

$\lim_{x \to \infty} x^x = \infty$

4. **微分**:

$y' = e^{x \log x} (\log x + 1) = x^x (\log x + 1)$

5. **増減**:

$y' = 0$ となるのは $\log x = -1$、つまり $x = e^{-1} = \frac{1}{e}$ のとき。

* $0 < x < \frac{1}{e}$ のとき、$y' < 0$。

* $x > \frac{1}{e}$ のとき、$y' > 0$。

6. **極値**:

$x = \frac{1}{e}$ で極小値 $y = (\frac{1}{e})^{\frac{1}{e}} = e^{-\frac{1}{e}} \approx 0.692$ をとる。

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3. 最終的な答え

グラフを描く問題なので、最終的な答えはグラフになります。

それぞれの関数のグラフの特徴は以下の通りです。

* **(1) $y = \frac{x}{\log x}$**: $x=1$を漸近線とする。$x=e$で極小値$e$をとる。$x \to 0^+$で$y \to 0$。

* **(2) $y = \frac{e^x}{x}$**: $x=0$を漸近線とする。$x=1$で極小値$e$をとる。$x \to -\infty$で$y \to 0$。

* **(3) $y = x^x$**: $x=0$で$y=1$。$x=\frac{1}{e}$で極小値$e^{-\frac{1}{e}}$をとる。

これらの情報をもとにグラフを描いてください。