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$\int_{0}^{x} \sin{t} dt$ を計算する問題です。

解析学定積分三角関数不定積分積分計算
2025/6/6

1. 問題の内容

∫0xsin⁡tdt\int_{0}^{x} \sin{t} dt を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、sin⁡t\sin{t} の不定積分を求めます。sin⁡t\sin{t} の不定積分は −cos⁡t-\cos{t} です。
したがって、
∫sin⁡tdt=−cos⁡t+C\int \sin{t} dt = -\cos{t} + C
次に、定積分を計算します。定積分の計算は、不定積分の積分範囲における差を計算することで行われます。
すなわち、
∫0xsin⁡tdt=[−cos⁡t]0x=−cos⁡x−(−cos⁡0)\int_{0}^{x} \sin{t} dt = [-\cos{t}]_{0}^{x} = -\cos{x} - (-\cos{0})
cos⁡0=1\cos{0} = 1 であるので、
∫0xsin⁡tdt=−cos⁡x+1=1−cos⁡x\int_{0}^{x} \sin{t} dt = -\cos{x} + 1 = 1 - \cos{x}

3. 最終的な答え

1−cos⁡x1 - \cos{x}

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