2次元スカラー場 $z = f(x, y)$ における $\text{grad} \, z$ と $z$ の全微分の違いを説明する問題です。

1. 問題の内容

2次元スカラー場 $z = f(x, y)$ における $\text{grad} \, z$ と $z$ の全微分の違いを説明する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\text{grad} \, z$ と $z$ の全微分の定義をそれぞれ確認します。

* **勾配 (gradient)**: スカラー場 $z = f(x, y)$ の勾配は、各変数に関する偏微分を成分とするベクトルです。つまり、

$\text{grad} \, z = \nabla z = \left(\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}\right)$

勾配はベクトル場であり、その方向は関数 $z$ が最も急激に増加する方向を示し、その大きさは増加率を示します。

* **全微分 (total differential)**: 関数 $z = f(x, y)$ の全微分は、各変数に関する微小な変化 ($dx$, $dy$) に対する $z$ の変化を表します。

$dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy$

全微分はスカラーであり、関数 $z$ の微小変化を表します。

次に、この2つの違いを説明します。

* $\text{grad} \, z$ はベクトル場であり、$z$ の最大の増加方向と、その方向への変化率を示します。

* $dz$ はスカラーであり、$x$ と $y$ の微小変化に対する $z$ の微小変化を表します。

* $\text{grad} \, z$ を用いると、全微分は次のように表せます。

$dz = \nabla z \cdot (dx, dy)$

これは勾配ベクトルと、微小変位ベクトル $(dx, dy)$ の内積です。

3. 最終的な答え

$\text{grad} \, z$ はベクトルであり、スカラー場 $z$ が最も急激に増加する方向と、その方向への変化率を表します。一方、$z$ の全微分 $dz$ はスカラーであり、各変数における微小な変化に対する $z$ の変化を表します。全微分は、勾配ベクトルと微小変位ベクトルの内積として表現できます。