関数 $f(x)$ の極値を求める問題です。具体的には、(1) $f(x) = x^3 - 3x - 4$ と (2) $f(x) = x^2 e^{-x}$ の極値を与える点の候補を求め、それぞれが極大値を与えるか極小値を与えるかを判定します。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ の極値を求める問題です。具体的には、(1) $f(x) = x^3 - 3x - 4$ と (2) $f(x) = x^2 e^{-x}$ の極値を与える点の候補を求め、それぞれが極大値を与えるか極小値を与えるかを判定します。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = x^3 - 3x - 4$ の場合：

ステップ1: 導関数 $f'(x)$ を計算します。

$f'(x) = 3x^2 - 3$

ステップ2: $f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$3x^2 - 3 = 0$

$3(x^2 - 1) = 0$

$x^2 = 1$

$x = \pm 1$

ステップ3: 第二次導関数 $f''(x)$ を計算します。

$f''(x) = 6x$

ステップ4: $f''(x)$ の符号を $x = 1$ と $x = -1$ で調べます。

$x = 1$ のとき、$f''(1) = 6(1) = 6 > 0$ なので、$x = 1$ で極小値をとります。

$x = -1$ のとき、$f''(-1) = 6(-1) = -6 < 0$ なので、$x = -1$ で極大値をとります。

ステップ5: 極値の値を計算します。

$f(1) = 1^3 - 3(1) - 4 = 1 - 3 - 4 = -6$

$f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) - 4 = -1 + 3 - 4 = -2$

(2) $f(x) = x^2 e^{-x}$ の場合：

ステップ1: 導関数 $f'(x)$ を計算します。

積の微分法を用いると、

$f'(x) = 2x e^{-x} + x^2 (-e^{-x}) = e^{-x}(2x - x^2) = x e^{-x}(2 - x)$

ステップ2: $f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$x e^{-x} (2 - x) = 0$

$x = 0$ または $2 - x = 0$

$x = 0$ または $x = 2$

ステップ3: 第二次導関数 $f''(x)$ を計算します。

$f''(x) = e^{-x}(2 - x) + x e^{-x} (-1) + e^{-x}(-1)x = e^{-x} (2-x) - xe^{-x} - xe^{-x} = e^{-x}(2-2x-x) = e^{-x}(2 - 2x - x + x) = e^{-x}(2 - 2x - x)= e^{-x}(2 - 4x + x^2)= (e^{-x})(2-2x-x)=(2-2x+x^2)*(-e-x)+(2e^-x-x^2e^-x)$

$f''(x) = e^{-x}(x^2-4x+2)$

ステップ4: $f''(x)$ の符号を $x = 0$ と $x = 2$ で調べます。

$f''(0) = e^{-0}(0^2 - 4(0) + 2) = 1(2) = 2 > 0$ なので、$x = 0$ で極小値をとります。

$f''(2) = e^{-2}(2^2 - 4(2) + 2) = e^{-2}(4 - 8 + 2) = e^{-2}(-2) < 0$ なので、$x = 2$ で極大値をとります。

ステップ5: 極値の値を計算します。

$f(0) = 0^2 e^{-0} = 0$

$f(2) = 2^2 e^{-2} = 4e^{-2} = \frac{4}{e^2}$

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = x^3 - 3x - 4$

* $x = -1$ で極大値 $-2$ をとる。

* $x = 1$ で極小値 $-6$ をとる。

(2) $f(x) = x^2 e^{-x}$

* $x = 0$ で極小値 $0$ をとる。

* $x = 2$ で極大値 $\frac{4}{e^2}$ をとる。