この問題では、微分公式2の (1) $(f+g)' = f'+g'$ と (3) $(fg)' = f'g + fg'$ を証明することを求められています。

1. 問題の内容

この問題では、微分公式2の (1) $(f+g)' = f'+g'$ と (3) $(fg)' = f'g + fg'$ を証明することを求められています。

2. 解き方の手順

(1) $(f+g)' = f' + g'$ の証明:

微分の定義より、

$$(f+g)'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(f+g)(x+h) - (f+g)(x)}{h}$$

これを展開すると、

$$(f+g)'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) + g(x+h) - f(x) - g(x)}{h}$$

さらに整理すると、

$$(f+g)'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} + \lim_{h \to 0} \frac{g(x+h) - g(x)}{h}$$

微分の定義より、

$$(f+g)'(x) = f'(x) + g'(x)$$

したがって、$(f+g)' = f' + g'$ が証明されました。

(3) $(fg)' = f'g + fg'$ の証明:

微分の定義より、

$$(fg)'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(fg)(x+h) - (fg)(x)}{h}$$

$$= \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x)}{h}$$

ここで、$f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x)$ に $f(x+h)g(x) - f(x+h)g(x)$ を加算および減算すると、

$$(fg)'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)g(x+h) - f(x+h)g(x) + f(x+h)g(x) - f(x)g(x)}{h}$$

$$= \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)(g(x+h) - g(x)) + g(x)(f(x+h) - f(x))}{h}$$

$$= \lim_{h \to 0} f(x+h) \frac{g(x+h) - g(x)}{h} + \lim_{h \to 0} g(x) \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$

$h \to 0$ の極限をとると、$f(x+h) \to f(x)$ となるので、

$$(fg)'(x) = f(x)g'(x) + g(x)f'(x)$$

$$= f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$

したがって、$(fg)' = f'g + fg'$ が証明されました。

3. 最終的な答え

(1) $(f+g)' = f' + g'$

(3) $(fg)' = f'g + fg'$