関数 $y = \frac{x+3}{x-1}$ の漸近線を求め、関数 $y = \frac{1}{x}$ をどのように変形・移動したものかを答える。また、グラフを描く。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{x+3}{x-1}$ の漸近線を求め、関数 $y = \frac{1}{x}$ をどのように変形・移動したものかを答える。また、グラフを描く。

2. 解き方の手順

まず、$y = \frac{x+3}{x-1}$ を変形する。分子を分母で割ると、

$x+3 = (x-1) + 4$

なので、

$y = \frac{(x-1) + 4}{x-1} = \frac{x-1}{x-1} + \frac{4}{x-1} = 1 + \frac{4}{x-1}$

したがって、

$y = \frac{4}{x-1} + 1$

次に、漸近線を求める。

$x$が非常に大きいとき、$\frac{4}{x-1}$ は0に近づくので、$y$ は1に近づく。よって、$y = 1$ は水平漸近線である。

また、$x$ が1に近づくと、分母が0に近づき、絶対値が非常に大きくなるので、$x = 1$ は垂直漸近線である。

$y=\frac{1}{x}$ からの変形について。

$y = \frac{4}{x-1} + 1$ は $y = \frac{1}{x}$ を次のように変形したものである。

1. $x$ 軸方向に1だけ平行移動 ($x \to x-1$)

2. $y$ 軸方向に4倍に拡大 ($y \to 4y$)

3. $y$ 軸方向に1だけ平行移動 ($y \to y+1$)

グラフは省略します。

3. 最終的な答え

漸近線: $x = 1$, $y = 1$

$y = \frac{1}{x}$ の変形:

1. $x$ 軸方向に1だけ平行移動

2. $y$ 軸方向に4倍に拡大

3. $y$ 軸方向に1だけ平行移動