与えられた積分を計算します。具体的には、$y = -\frac{1}{7}\int e^{3x}\cos(x) dx$ を計算し、$y$ を求めます。

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。具体的には、$y = -\frac{1}{7}\int e^{3x}\cos(x) dx$ を計算し、$y$ を求めます。

2. 解き方の手順

部分積分を2回用います。まず、$u = e^{3x}, dv = \cos(x)dx$ とすると、$du = 3e^{3x}dx, v = \sin(x)$ となります。したがって、

$\int e^{3x}\cos(x)dx = e^{3x}\sin(x) - \int 3e^{3x}\sin(x)dx$

次に、$\int 3e^{3x}\sin(x)dx$ を計算します。$u = 3e^{3x}, dv = \sin(x)dx$ とすると、$du = 9e^{3x}dx, v = -\cos(x)$ となります。したがって、

$\int 3e^{3x}\sin(x)dx = -3e^{3x}\cos(x) + \int 9e^{3x}\cos(x)dx$

これらをまとめると、

$\int e^{3x}\cos(x)dx = e^{3x}\sin(x) - (-3e^{3x}\cos(x) + \int 9e^{3x}\cos(x)dx)$

$\int e^{3x}\cos(x)dx = e^{3x}\sin(x) + 3e^{3x}\cos(x) - 9\int e^{3x}\cos(x)dx$

$10\int e^{3x}\cos(x)dx = e^{3x}\sin(x) + 3e^{3x}\cos(x)$

$\int e^{3x}\cos(x)dx = \frac{1}{10}e^{3x}(\sin(x) + 3\cos(x)) + C$

したがって、

$y = -\frac{1}{7} \cdot \frac{1}{10}e^{3x}(\sin(x) + 3\cos(x)) + C$

$y = -\frac{1}{70}e^{3x}(\sin(x) + 3\cos(x)) + C$

3. 最終的な答え

$y = -\frac{1}{70}e^{3x}(\sin(x) + 3\cos(x)) + C$