与えられた3つの関数の定義域と値域を求める問題です。 (1) $y = \frac{1}{x-5}$ (2) $y = \sqrt{x-3}$ (3) $y = x^2 + 2x + 7$

1. 問題の内容

与えられた3つの関数の定義域と値域を求める問題です。

(1) $y = \frac{1}{x-5}$

(2) $y = \sqrt{x-3}$

(3) $y = x^2 + 2x + 7$

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{1}{x-5}$ の場合

定義域：分母が0にならないように、$x-5 \neq 0$ より $x \neq 5$。

値域：$y$ は0以外のすべての実数値を取りうるので、$y \neq 0$。

(2) $y = \sqrt{x-3}$ の場合

定義域：ルートの中身が0以上になるように、$x-3 \geq 0$ より $x \geq 3$。

値域：ルートの計算結果は0以上の実数となるので、$y \geq 0$。

(3) $y = x^2 + 2x + 7$ の場合

まず、平方完成を行います。

$y = x^2 + 2x + 7 = (x^2 + 2x + 1) + 6 = (x+1)^2 + 6$

定義域：$x$ はすべての実数値を取りうるので、特に制限はありません。

値域：$(x+1)^2 \geq 0$ より、 $y = (x+1)^2 + 6 \geq 6$。よって、$y \geq 6$。

3. 最終的な答え

(1) 定義域：$x \neq 5$、値域：$y \neq 0$

(2) 定義域：$x \geq 3$、値域：$y \geq 0$

(3) 定義域：すべての実数、値域：$y \geq 6$