与えられた式 $g = \frac{4\pi^2}{(\frac{T_y}{100} - \frac{T_x}{100})^2} (l + \frac{D}{2})$ の両辺の対数をとり、微分してほしい。

1. 問題の内容

与えられた式 $g = \frac{4\pi^2}{(\frac{T_y}{100} - \frac{T_x}{100})^2} (l + \frac{D}{2})$ の両辺の対数をとり、微分してほしい。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式 $g = \frac{4\pi^2}{(\frac{T_y}{100} - \frac{T_x}{100})^2} (l + \frac{D}{2})$ の両辺の自然対数をとります。

$\ln g = \ln \left( \frac{4\pi^2}{(\frac{T_y}{100} - \frac{T_x}{100})^2} (l + \frac{D}{2}) \right)$

対数の性質を使って式を分解します。

$\ln g = \ln(4\pi^2) - \ln\left((\frac{T_y}{100} - \frac{T_x}{100})^2\right) + \ln(l + \frac{D}{2})$

さらに式を整理します。

$\ln g = \ln(4\pi^2) - 2\ln(\frac{T_y}{100} - \frac{T_x}{100}) + \ln(l + \frac{D}{2})$

次に、この式の両辺を微分します。 $g$, $T_y$, $T_x$, $l$, $D$ は変数であるとします。

$\frac{1}{g} dg = 0 - 2 \cdot \frac{1}{\frac{T_y}{100} - \frac{T_x}{100}} \cdot \left(\frac{1}{100} dT_y - \frac{1}{100} dT_x\right) + \frac{1}{l + \frac{D}{2}} \cdot \left(dl + \frac{1}{2} dD\right)$

$\frac{dg}{g} = - \frac{2}{\frac{T_y - T_x}{100}} \cdot \frac{dT_y - dT_x}{100} + \frac{dl + \frac{1}{2} dD}{l + \frac{D}{2}}$

$\frac{dg}{g} = - \frac{2 (dT_y - dT_x)}{T_y - T_x} + \frac{dl + \frac{1}{2} dD}{l + \frac{D}{2}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dg}{g} = - \frac{2 (dT_y - dT_x)}{T_y - T_x} + \frac{dl + \frac{1}{2} dD}{l + \frac{D}{2}}$