与えられた式は $y = -\frac{1}{9} \int e^{3x} \cos(x) dx$ です。この積分を計算し、$y$ を求めます。

1. 問題の内容

与えられた式は $y = -\frac{1}{9} \int e^{3x} \cos(x) dx$ です。この積分を計算し、$y$ を求めます。

2. 解き方の手順

部分積分を2回適用して、積分 $\int e^{3x} \cos(x) dx$ を計算します。

まず、$u = e^{3x}$、$dv = \cos(x) dx$ とします。すると、$du = 3e^{3x} dx$、$v = \sin(x)$ となります。部分積分の公式 $\int u dv = uv - \int v du$ を適用すると、

$\int e^{3x} \cos(x) dx = e^{3x} \sin(x) - \int \sin(x) \cdot 3e^{3x} dx = e^{3x} \sin(x) - 3 \int e^{3x} \sin(x) dx$

次に、$\int e^{3x} \sin(x) dx$ を計算するために、再び部分積分を行います。$u = e^{3x}$、$dv = \sin(x) dx$ とすると、$du = 3e^{3x} dx$、$v = -\cos(x)$ となります。

$\int e^{3x} \sin(x) dx = e^{3x} (-\cos(x)) - \int (-\cos(x)) \cdot 3e^{3x} dx = -e^{3x} \cos(x) + 3 \int e^{3x} \cos(x) dx$

これを用いて、元の積分を書き換えます。

$\int e^{3x} \cos(x) dx = e^{3x} \sin(x) - 3 \left( -e^{3x} \cos(x) + 3 \int e^{3x} \cos(x) dx \right)$

$\int e^{3x} \cos(x) dx = e^{3x} \sin(x) + 3e^{3x} \cos(x) - 9 \int e^{3x} \cos(x) dx$

$\int e^{3x} \cos(x) dx$ を $I$ と置くと、

$I = e^{3x} \sin(x) + 3e^{3x} \cos(x) - 9I$

$10I = e^{3x} \sin(x) + 3e^{3x} \cos(x)$

$I = \frac{1}{10} e^{3x} (\sin(x) + 3 \cos(x))$

したがって、

$\int e^{3x} \cos(x) dx = \frac{1}{10} e^{3x} (\sin(x) + 3 \cos(x)) + C$

$y = -\frac{1}{9} \int e^{3x} \cos(x) dx = -\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{10} e^{3x} (\sin(x) + 3 \cos(x)) + C'$

$y = -\frac{1}{90} e^{3x} (\sin(x) + 3 \cos(x)) + C'$

3. 最終的な答え

$y = -\frac{1}{90} e^{3x} (\sin(x) + 3 \cos(x)) + C'$