与えられた積分を計算し、その結果を7で割った値$y$を求める問題です。 $y = \frac{1}{7} \int e^{-\frac{x}{2}} \cos(x) dx$

1. 問題の内容

与えられた積分を計算し、その結果を7で割った値$y$を求める問題です。

$y = \frac{1}{7} \int e^{-\frac{x}{2}} \cos(x) dx$

2. 解き方の手順

この積分は、部分積分を2回繰り返すことで解くことができます。

まず、$I = \int e^{-\frac{x}{2}} \cos(x) dx$とおきます。

1回目の部分積分：

$u = e^{-\frac{x}{2}}$、$dv = \cos(x) dx$とすると、

$du = -\frac{1}{2} e^{-\frac{x}{2}} dx$、$v = \sin(x)$となります。

よって、

$I = e^{-\frac{x}{2}} \sin(x) - \int \sin(x) (-\frac{1}{2} e^{-\frac{x}{2}}) dx$

$I = e^{-\frac{x}{2}} \sin(x) + \frac{1}{2} \int e^{-\frac{x}{2}} \sin(x) dx$

2回目の部分積分：

$u = e^{-\frac{x}{2}}$、$dv = \sin(x) dx$とすると、

$du = -\frac{1}{2} e^{-\frac{x}{2}} dx$、$v = -\cos(x)$となります。

$\int e^{-\frac{x}{2}} \sin(x) dx = -e^{-\frac{x}{2}} \cos(x) - \int (-\cos(x))(-\frac{1}{2} e^{-\frac{x}{2}}) dx$

$\int e^{-\frac{x}{2}} \sin(x) dx = -e^{-\frac{x}{2}} \cos(x) - \frac{1}{2} \int e^{-\frac{x}{2}} \cos(x) dx$

$\int e^{-\frac{x}{2}} \sin(x) dx = -e^{-\frac{x}{2}} \cos(x) - \frac{1}{2} I$

これを最初の式に代入します。

$I = e^{-\frac{x}{2}} \sin(x) + \frac{1}{2} (-e^{-\frac{x}{2}} \cos(x) - \frac{1}{2} I)$

$I = e^{-\frac{x}{2}} \sin(x) - \frac{1}{2} e^{-\frac{x}{2}} \cos(x) - \frac{1}{4} I$

$I + \frac{1}{4} I = e^{-\frac{x}{2}} \sin(x) - \frac{1}{2} e^{-\frac{x}{2}} \cos(x)$

$\frac{5}{4} I = e^{-\frac{x}{2}} (\sin(x) - \frac{1}{2} \cos(x))$

$I = \frac{4}{5} e^{-\frac{x}{2}} (\sin(x) - \frac{1}{2} \cos(x)) + C$

したがって、

$I = \frac{4}{5} e^{-\frac{x}{2}} (\sin(x) - \frac{1}{2} \cos(x)) + C$

$y = \frac{1}{7} I = \frac{1}{7} (\frac{4}{5} e^{-\frac{x}{2}} (\sin(x) - \frac{1}{2} \cos(x)) + C)$

$y = \frac{4}{35} e^{-\frac{x}{2}} (\sin(x) - \frac{1}{2} \cos(x)) + C'$

3. 最終的な答え

$y = \frac{4}{35} e^{-\frac{x}{2}} (\sin(x) - \frac{1}{2} \cos(x)) + C$