関数 $f(x) = e^{x-1}$ のマクローリン展開を求める問題です。マクローリン展開は $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$ で定義されます。選択肢の中から正しいものを選択します。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = e^{x-1}$ のマクローリン展開を求める問題です。マクローリン展開は $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$ で定義されます。選択肢の中から正しいものを選択します。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ の導関数をいくつか計算します。

$f(x) = e^{x-1}$

$f'(x) = e^{x-1}$

$f''(x) = e^{x-1}$

$f'''(x) = e^{x-1}$

...

一般に、$f^{(n)}(x) = e^{x-1}$ となります。

次に、各導関数を $x=0$ で評価します。

$f(0) = e^{0-1} = e^{-1}$

$f'(0) = e^{0-1} = e^{-1}$

$f''(0) = e^{0-1} = e^{-1}$

$f'''(0) = e^{0-1} = e^{-1}$

...

一般に、$f^{(n)}(0) = e^{-1}$ となります。

したがって、マクローリン展開は次のようになります。

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{e^{-1}}{n!}x^n = e^{-1} + e^{-1}x + \frac{e^{-1}}{2!}x^2 + \frac{e^{-1}}{3!}x^3 + ...$

$f(x) = e^{-1} + e^{-1}x + \frac{e^{-1}}{2}x^2 + \frac{e^{-1}}{6}x^3 + ...$

$f(x) = e^{-1} + e^{-1}x + (2e)^{-1}x^2 + (6e)^{-1}x^3 + ...$

3. 最終的な答え

選択肢1: $e^{-1} + e^{-1}x + (2e)^{-1}x^2 + (3e)^{-1}x^3 + ...$

選択肢2: $1 + e^{-1}x + (2e)^{-1}x^2 + (6e)^{-1}x^3 + ...$

選択肢3: $e + ex + 2ex^2 + 6ex^3 + ...$

選択肢4: $e^{-1} + e^{-1}x + (2)^{-1}x^2 + (6)^{-1}x^3 + ...$

選択肢5: この中にはない。

正しい答えは、選択肢1: $e^{-1} + e^{-1}x + (2e)^{-1}x^2 + (6e)^{-1}x^3 + ...$ の最初の3項と一致します。 しかし、$x^3$の係数が異なっています。

選択肢4: $e^{-1} + e^{-1}x + (2e)^{-1}x^2 + (6e)^{-1}x^3 + ...$ と一致しているものがありません。

よって答えは選択肢4: $e^{-1} + e^{-1}x + (2e)^{-1}x^2 + (6e)^{-1}x^3 + ...$

最終的な答え：4