問題は2つあります。 問題1：関数 $f(x) = x - x^3$ と区間 $[0, 2]$ について、平均値の定理を適用したとき、定理が主張する $c$ の値を求める。$f'(c) = 1$ かつ $0 < c < 2$ を満たす $c$ の値を求める問題です。 問題2：$\lim_{x \to 0} \frac{x^2 - x}{\tan x}$ をロピタルの定理を用いて求める問題です。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

問題1：関数 $f(x) = x - x^3$ と区間 $[0, 2]$ について、平均値の定理を適用したとき、定理が主張する $c$ の値を求める。$f'(c) = 1$ かつ $0 < c < 2$ を満たす $c$ の値を求める問題です。

問題2：$\lim_{x \to 0} \frac{x^2 - x}{\tan x}$ をロピタルの定理を用いて求める問題です。

2. 解き方の手順

問題1：

まず、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を計算します。

$f'(x) = 1 - 3x^2$

次に、$f'(c) = 1$ より、

$1 - 3c^2 = 1$

$3c^2 = 0$

$c^2 = 0$

$c = 0$

しかし、$0 < c < 2$ である必要があるため、これは条件を満たしません。

平均値の定理より、$\frac{f(2)-f(0)}{2-0} = f'(c)$ を満たす $c$ が存在します。

$\frac{f(2)-f(0)}{2-0} = \frac{(2-2^3) - (0-0^3)}{2} = \frac{2-8}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

したがって、$f'(c) = -3$

$1 - 3c^2 = -3$

$4 = 3c^2$

$c^2 = \frac{4}{3}$

$c = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$

$0 < c < 2$ より、$c = \frac{2}{\sqrt{3}}$

$c = \frac{2\sqrt{3}}{3}$

問題2：

$\lim_{x \to 0} \frac{x^2 - x}{\tan x}$ は $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を適用できます。

分子を微分すると $2x - 1$、分母を微分すると $\frac{1}{\cos^2 x}$ となります。

$\lim_{x \to 0} \frac{2x - 1}{\frac{1}{\cos^2 x}} = \lim_{x \to 0} (2x - 1) \cos^2 x$

$x \to 0$ のとき、$2x - 1 \to -1$ であり、$\cos^2 x \to 1$ なので、

$\lim_{x \to 0} (2x - 1) \cos^2 x = (-1)(1) = -1$

3. 最終的な答え

問題1：$c = \frac{2\sqrt{3}}{3}$

問題2：$-1$