関数 $y = x^4 - 6x^2 + 1$ の $-1 \le x \le 2$ における最大値を求める。ただし、$x^2 = t$ とおく。まず、$t$ の取りうる範囲を求め、それを用いて $y$ を $t$ で表し、その最大値を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = x^4 - 6x^2 + 1$ の $-1 \le x \le 2$ における最大値を求める。ただし、$x^2 = t$ とおく。まず、$t$ の取りうる範囲を求め、それを用いて $y$ を $t$ で表し、その最大値を求める。

2. 解き方の手順

ステップ1: $t = x^2$ とおいたときの $t$ の取りうる範囲を求める。

$f(x) = x^2$ とすると、$-1 \le x \le 2$ において $f(x)$ は

$x=0$ で最小値 $f(0)=0$ をとる。

$x=2$ で最大値 $f(2)=4$ をとる。

したがって、$0 \le t \le 4$。

ステップ2: $y$ を $t$ で表す。

$y = x^4 - 6x^2 + 1 = (x^2)^2 - 6(x^2) + 1$

$y = t^2 - 6t + 1$

ステップ3: $y = t^2 - 6t + 1$ の $0 \le t \le 4$ における最大値を求める。

$y = t^2 - 6t + 1 = (t - 3)^2 - 8$

$g(t) = (t - 3)^2 - 8$ とすると、$0 \le t \le 4$ において、$g(t)$ は

$t = 0$ で最大値 $g(0) = (0-3)^2 - 8 = 9 - 8 = 1$ をとる。

3. 最終的な答え

ア: 0

イ: 4

ウ: 1